高中數(shù)學(xué)橢圓練習(xí)題一、選擇題

2.已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率為,且它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于圓C:x2+y2-2x-15=0的半徑,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　)

(A)+=1 (B)+=1

(C)+y2=1 (D)+=1

3.(2013·安康模擬)若m是2和8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線x2+=1的離心率

是(　　)

(A) (B) (C)或 (D)或

4.已知橢圓:+=1(0b>0)的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P,F2為右焦點(diǎn),若∠F1PF2=60°,則橢圓的離心率為(　　)

(A) (B) (C) (D)

6.(能力挑戰(zhàn)題)以F1(-1,0),F2(1,0)為焦點(diǎn)且與直線x-y+3=0有公共點(diǎn)的橢圓中,離心率最大的橢圓方程是(　　)

(A)+=1 (B)+=1

(C)+=1 (D)+=1

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高中數(shù)學(xué)橢圓練習(xí)題二、填空題

7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的中心為原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在x軸上,離心率為.過(guò)F1的直線l交C于A,B兩點(diǎn),且△ABF2的周長(zhǎng)為16,那么C的方程為　　　　

8.已知點(diǎn)P是橢圓16x2+25y2=400上一點(diǎn),且在x軸上方,F1,F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),直線PF2的斜率為-4,則△PF1F2的面積是　　　　

9.分別過(guò)橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)F1,F2所作的兩條互相垂直的直線l1, l2的交點(diǎn)在此橢圓的內(nèi)部,則此橢圓的離心率的取值范圍是　　　　

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高中數(shù)學(xué)橢圓練習(xí)題三、解答題

10.(2013·西安模擬)在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線C上任意一點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)F1(-,0)和F2(,0)的距離之和為4.

(1)求曲線C的方程.

(2)設(shè)過(guò)(0,-2)的直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),以線段AB為直徑作圓.

試問(wèn):該圓能否經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)?若能,請(qǐng)寫出此時(shí)直線l的方程,并證明你的結(jié)論;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

11.(2013·渭南模擬)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)A為拋物線y2=8x的焦點(diǎn),上頂點(diǎn)為B,離心率為.

(1)求橢圓C的方程.

(2)過(guò)點(diǎn)(0,)且斜率為k的直線l與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn),若線段PQ的中點(diǎn)橫坐標(biāo)是-,求直線l的方程.

12.(能力挑戰(zhàn)題)已知點(diǎn)P是圓F1:(x+)2+y2=16上任意一點(diǎn),點(diǎn)F2與點(diǎn)F1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.線段PF2的中垂線與PF1交于M點(diǎn).

(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程.

(2)設(shè)軌跡C與x軸的兩個(gè)左右交點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)K是軌跡C上異于A,B的任意一點(diǎn),KH⊥x軸,H為垂足,延長(zhǎng)HK到點(diǎn)Q使得|HK|=|KQ|,連接AQ并延長(zhǎng)交過(guò)B且垂直于x軸的直線l于點(diǎn)D,N為DB的中點(diǎn).試判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系.

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高中數(shù)學(xué)橢圓練習(xí)題答案

1.【解析】選B.由題意得2a=2b,即a=b.

又a2=b2+c2,所以有b=c,∴a=c,得離心率e=.

2.【解析】選A.圓C的方程可化為(x-1)2+y2=16.

知其半徑r=4,∴長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=4,∴a=2.

又e==,

∴c=1,b2=a2-c2=4-1=3,

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.

3.【解析】選C.因?yàn)閙是2和8的等比中項(xiàng)，所以m2=16，所以m=±4.當(dāng)m=4時(shí)，圓錐曲線為橢圓x2+=1，離心率為，當(dāng)m=-4時(shí)，圓錐曲線為雙曲線x2-=1，離心率為，綜上選C.

4.【解析】選D.由題意知a=2，所以|BF2|+|AF2|+|AB|=4a=8.因?yàn)閨BF2|+|AF2|的最大值為5，所以|AB|的最小值為3，當(dāng)且僅當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，取得最小值，此時(shí)A(-c，)，B(-c，-)，代入橢圓方程得+=1.又c2=a2-b2=4-b2，所以+=1，即1-+=1，所以=，解得b2=3，所以b=，選D.

5.【解析】選B.由題意知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-c,)或(-c,-),因?yàn)椤螰1PF2=60°,那么=,∴2ac=b2,這樣根據(jù)a,b,c的關(guān)系式化簡(jiǎn)得到結(jié)論為.

6.【思路點(diǎn)撥】由于c=1,所以只需長(zhǎng)軸最小,即公共點(diǎn)P,使得|PF1|+|PF2|最小時(shí)的橢圓方程.

【解析】選C.由于c=1,所以離心率最大即為長(zhǎng)軸最小.

點(diǎn)F1(-1,0)關(guān)于直線x-y+3=0的對(duì)稱點(diǎn)為F′(-3,2),

設(shè)點(diǎn)P為直線與橢圓的公共點(diǎn),

則2a=|PF1|+|PF2|=|PF′|+|PF2|≥|F′F2|=2.

取等號(hào)時(shí)離心率取最大值,

此時(shí)橢圓方程為+=1.

7.【解析】根據(jù)橢圓焦點(diǎn)在x軸上,可設(shè)橢圓方程為+=1(a>b>0).

∵e=,∴=.根據(jù)△ABF2的周長(zhǎng)為16得4a=16,因此a=4,b=2,所以橢圓方程為+=1.

答案:+=1

8.【解析】由已知F1(-3,0),F2(3,0),所以直線PF2的方程為y=-4(x-3),代入16x2+25y2=400,整理得76x2-450x+650=0,解得:x=或x=(因?yàn)閤<3,故舍去),

又點(diǎn)P(x,y)在橢圓上,且在x軸上方,得16×()2+25y2=400,

解得y=2,

∴=|F1F2|·y=×6×2=6.

答案:6

9.【思路點(diǎn)撥】關(guān)鍵是由l1, l2的交點(diǎn)在此橢圓的內(nèi)部,得到a,b,c間的關(guān)系,進(jìn)而求得離心率e的取值范圍.

【解析】由已知得交點(diǎn)P在以F1F2為直徑的圓x2+y2=c2上.

又點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部,所以有c20,∴k2>,………………②

則x1+x2=,x1·x2=,代入①,得

(1+k2)·-2k·+4=0.即k2=4,

∴k=2或k=-2,滿足②式.

所以,存在直線l,其方程為y=2x-2或y=-2x-2.

11.【解析】(1)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為A(2,0),依題意可知a=2.

因?yàn)殡x心率e==,所以c=.

故b2=a2-c2=1,

所以橢圓C的方程為:+y2=1.

(2)直線l:y=kx+,

由

消去y可得(4k2+1)x2+

8kx+4=0,

因?yàn)橹本€l與橢圓C相交于P,Q,

所以Δ=(8k)2-4(4k2+1)×4>0,

解得|k|>.

又x1+x2=,x1x2=,

設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ中點(diǎn)M(x0,y0),

因?yàn)榫€段PQ的中點(diǎn)橫坐標(biāo)是-,

所以x0===-,

解得k=1或k=,

因?yàn)閨k|>,所以k=1,

因此所求直線l:y=x+.

12.【解析】(1)由題意得,F1(-,0),F2(,0),

圓F1的半徑為4,且|MF2|=|MP|,

從而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=4>|F1F2|=2,

∴點(diǎn)M的軌跡是以F1,F2為焦點(diǎn)的橢圓,其中長(zhǎng)軸2a=4,焦距2c=2,

則短半軸b===1,

橢圓方程為:+ y2=1.

(2)設(shè)K(x0,y0),則+=1.

∵|HK|=|KQ|,∴Q(x0,2y0),∴OQ==2,

∴Q點(diǎn)在以O(shè)為圓心,2為半徑的圓上,即Q點(diǎn)在以AB為直徑的圓O上.

又A(-2,0),∴直線AQ的方程為y=(x+2).

令x=2,得D(2,).

又B(2,0),N為DB的中點(diǎn),∴N(2,).

∴=(x0,2y0),=(x0-2,).

∴·=x0(x0-2)+2y0·=x0(x0-2)+=x0(x0-2)+

=x0(x0-2)+x0(2-x0)=0,

∴⊥,∴直線QN與以AB為直徑的圓O相切.

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簡(jiǎn)短的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法

學(xué)習(xí)是一個(gè)不斷溫故而知新的過(guò)程，每個(gè)人的學(xué)習(xí)方法不經(jīng)相同，也許我的學(xué)習(xí)方法不是最好的，但是找到最合適自己的，才最有效的。今天，小編給大家?guī)?lái)簡(jiǎn)短的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。

一：課后復(fù)習(xí)：我每天課后除了完成老師的作業(yè)外，首先我會(huì)把當(dāng)天的知識(shí)回顧一遍，尤其是對(duì)作業(yè)中的錯(cuò)題要進(jìn)行整理，把錯(cuò)題摘抄到我的錯(cuò)題本上，把錯(cuò)題原因，解決方法總結(jié)一下，再把錯(cuò)題重新做一遍。加深印象。概念性的知識(shí)點(diǎn)，做到背熟。

二：重要的錯(cuò)題本了，把錯(cuò)題收集在錯(cuò)題本上，按照課后復(fù)習(xí)里提到的錯(cuò)題整理方法把錯(cuò)題再梳理一遍。最后再了解一下自己的分?jǐn)?shù)在班級(jí)或年級(jí)成績(jī)里是一個(gè)什么檔次。這并不是過(guò)分在意分?jǐn)?shù)，而是了解自己實(shí)力的好辦法。

三：考前復(fù)習(xí)：在考試之前，我一般不會(huì)過(guò)多的去做題了，只是把錯(cuò)題本拿出來(lái)再看看，把沒(méi)有把握的，或有疑問(wèn)的題再看看，就休息了。好的精神狀態(tài)在考試時(shí)是非常重要的。

四:　考后總結(jié)：我一般拿到卷子會(huì)先看自己哪錯(cuò)了，分析一下錯(cuò)題，是不懂錯(cuò)的，還是粗心錯(cuò)的，但是一般都是粗心錯(cuò)的，這是我的弱項(xiàng)，還是要加強(qiáng)細(xì)心程度。

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數(shù)學(xué)解題的七種技巧

一、 熟悉化策略

所謂熟悉化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道以前沒(méi)有接觸過(guò)的陌生題目時(shí)，要設(shè)法把它化為曾經(jīng)解過(guò)的或比較熟悉的題目，以便充分利用已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)或解題模式，順利地解出原題。

一般說(shuō)來(lái)，對(duì)于題目的熟悉程度，取決于對(duì)題目自身結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)和理解。從結(jié)構(gòu)上來(lái)分析，任何一道解答題，都包含條件和結(jié)論(或問(wèn)題)兩個(gè)方面。因此，要把陌生題轉(zhuǎn)化為熟悉題，可以在變換題目的條件、結(jié)論(或問(wèn)題)以及它們的聯(lián)系方式上多下功夫。

常用的途徑有：

(一)、充分聯(lián)想回憶基本知識(shí)和題型：

按照波利亞的觀點(diǎn)，在解決問(wèn)題之前，我們應(yīng)充分聯(lián)想和回憶與原有問(wèn)題相同或相似的知識(shí)點(diǎn)和題型，充分利用相似問(wèn)題中的方式、方法和結(jié)論，從而解決現(xiàn)有的問(wèn)題。

(二)、全方位、多角度分析題意：

對(duì)于同一道數(shù)學(xué)題，常常可以不同的側(cè)面、不同的角度去認(rèn)識(shí)。因此，根據(jù)自己的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，適時(shí)調(diào)整分析問(wèn)題的視角，有助于更好地把握題意，找到自己熟悉的`解題方向。

(三)恰當(dāng)構(gòu)造輔助元素：

數(shù)學(xué)中，同一素材的題目，常常可以有不同的表現(xiàn)形式;條件與結(jié)論(或問(wèn)題)之間，也存在著多種聯(lián)系方式。因此，恰當(dāng)構(gòu)造輔助元素，有助于改變題目的形式，溝通條件與結(jié)論(或條件與問(wèn)題)的內(nèi)在聯(lián)系，把陌生題轉(zhuǎn)化為熟悉題。

數(shù)學(xué)解題中，構(gòu)造的輔助元素是多種多樣的，常見(jiàn)的有構(gòu)造圖形(點(diǎn)、線、面、體)，構(gòu)造算法，構(gòu)造多項(xiàng)式，構(gòu)造方程(組)，構(gòu)造坐標(biāo)系，構(gòu)造數(shù)列，構(gòu)造行列式，構(gòu)造等價(jià)性命題，構(gòu)造反例，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型等等。

二、簡(jiǎn)單化策略

所謂簡(jiǎn)單化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道結(jié)構(gòu)復(fù)雜、難以入手的題目時(shí)，要設(shè)法把轉(zhuǎn)化為一道或幾道比較簡(jiǎn)單、易于解答的新題，以便通過(guò)對(duì)新題的考察，啟迪解題思路，以簡(jiǎn)馭繁，解出原題。

簡(jiǎn)單化是熟悉化的補(bǔ)充和發(fā)揮。一般說(shuō)來(lái)，我們對(duì)于簡(jiǎn)單問(wèn)題往往比較熟悉或容易熟悉。

因此，在實(shí)際解題時(shí)，這兩種策略常常是結(jié)合在一起進(jìn)行的，只是著眼點(diǎn)有所不同而已。

解題中，實(shí)施簡(jiǎn)單化策略的途徑是多方面的，常用的有: 尋求中間環(huán)節(jié)，分類考察討論，簡(jiǎn)化已知條件，恰當(dāng)分解結(jié)論等。

1、尋求中間環(huán)節(jié)，挖掘隱含條件：

在些結(jié)構(gòu)復(fù)雜的綜合題，就其生成背景而論，大多是由若干比較簡(jiǎn)單的基本題，經(jīng)過(guò)適當(dāng)組合抽去中間環(huán)節(jié)而構(gòu)成的。

因此，從題目的因果關(guān)系入手，尋求可能的中間環(huán)節(jié)和隱含條件，把原題分解成一組相互聯(lián)系的系列題，是實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化的一條重要途徑。

2、分類考察討論：

在些數(shù)學(xué)題，解題的復(fù)雜性，主要在于它的條件、結(jié)論(或問(wèn)題)包含多種不易識(shí)別的可能情形。對(duì)于這類問(wèn)題，選擇恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，把原題分解成一組并列的簡(jiǎn)單題，有助于實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

3、簡(jiǎn)單化已知條件：

有些數(shù)學(xué)題，條件比較抽象、復(fù)雜，不太容易入手。這時(shí)，不妨簡(jiǎn)化題中某些已知條件，甚至?xí)簳r(shí)撇開(kāi)不顧，先考慮一個(gè)簡(jiǎn)化問(wèn)題。這樣簡(jiǎn)單化了的問(wèn)題，對(duì)于解答原題，常常能起到穿針引線的作用。

4、恰當(dāng)分解結(jié)論：

有些問(wèn)題，解題的主要困難，來(lái)自結(jié)論的抽象概括，難以直接和條件聯(lián)系起來(lái)，這時(shí)，不妨猜想一下，能否把結(jié)論分解為幾個(gè)比較簡(jiǎn)單的部分，以便各個(gè)擊破，解出原題。

三、直觀化策略：

所謂直觀化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道內(nèi)容抽象，不易捉摸的題目時(shí)，要設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為形象鮮明、直觀具體的問(wèn)題，以便憑借事物的形象把握題中所及的各對(duì)象之間的聯(lián)系，找到原題的解題思路。

(一)、圖表直觀：

有些數(shù)學(xué)題，內(nèi)容抽象，關(guān)系復(fù)雜，給理解題意增添了困難，常常會(huì)由于題目的抽象性和復(fù)雜性，使正常的思維難以進(jìn)行到底。

對(duì)于這類題目，借助圖表直觀，利用示意圖或表格分析題意，有助于抽象內(nèi)容形象化，復(fù)雜關(guān)系條理化，使思維有相對(duì)具體的依托，便于深入思考，發(fā)現(xiàn)解題線索。

(二)、圖形直觀：

有些涉及數(shù)量關(guān)系的題目，用代數(shù)方法求解，道路崎嶇曲折，計(jì)算量偏大。這時(shí)，不妨借助圖形直觀，給題中有關(guān)數(shù)量以恰當(dāng)?shù)膸缀畏治觯貙捊忸}思路，找出簡(jiǎn)捷、合理的解題途徑。

(三)、圖象直觀：

不少涉及數(shù)量關(guān)系的題目，與函數(shù)的圖象密切相關(guān)，靈活運(yùn)用圖象的直觀性，常常能以簡(jiǎn)馭繁，獲取簡(jiǎn)便，巧妙的解法。

四、特殊化策略

所謂特殊化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道難以入手的一般性題目時(shí)，要注意從一般退到特殊，先考察包含在一般情形里的某些比較簡(jiǎn)單的特殊問(wèn)題，以便從特殊問(wèn)題的研究中，拓寬解題思路，發(fā)現(xiàn)解答原題的方向或途徑。

五、一般化策略

所謂一般化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一個(gè)計(jì)算比較復(fù)雜或內(nèi)在聯(lián)系不甚明顯的特殊問(wèn)題時(shí)，要設(shè)法把特殊問(wèn)題一般化，找出一個(gè)能夠揭示事物本質(zhì)屬性的一般情形的方法、技巧或結(jié)果，順利解出原題。

六、整體化策略

所謂整體化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道按常規(guī)思路進(jìn)行局部處理難以奏效或計(jì)算冗繁的題目時(shí)，要適時(shí)調(diào)整視角，把問(wèn)題作為一個(gè)有機(jī)整體，從整體入手，對(duì)整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行全面、深刻的分析和改造，以便從整體特性的研究中，找到解決問(wèn)題的途徑和辦法。

七、間接化策略

所謂間接化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道從正面入手復(fù)雜繁難，或在特定場(chǎng)合甚至找不到解題依據(jù)的題目時(shí)，要隨時(shí)改變思維方向，從結(jié)論(或問(wèn)題)的反面進(jìn)行思考，以便化難為易解出原題。

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