高中數學橢圓練習題一、選擇題

2.已知焦點在x軸上的橢圓的離心率為,且它的長軸長等于圓C:x2+y2-2x-15=0的半徑,則橢圓的標準方程是(　　)

(A)+=1 (B)+=1

(C)+y2=1 (D)+=1

3.(2013·安康模擬)若m是2和8的等比中項，則圓錐曲線x2+=1的離心率

是(　　)

(A) (B) (C)或 (D)或

4.已知橢圓:+=1(0b>0)的左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于點P,F2為右焦點,若∠F1PF2=60°,則橢圓的離心率為(　　)

(A) (B) (C) (D)

6.(能力挑戰題)以F1(-1,0),F2(1,0)為焦點且與直線x-y+3=0有公共點的橢圓中,離心率最大的橢圓方程是(　　)

(A)+=1 (B)+=1

(C)+=1 (D)+=1

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高中數學橢圓練習題二、填空題

7.在平面直角坐標系xOy中,橢圓C的中心為原點,焦點F1,F2在x軸上,離心率為.過F1的直線l交C于A,B兩點,且△ABF2的周長為16,那么C的方程為　　　　

8.已知點P是橢圓16x2+25y2=400上一點,且在x軸上方,F1,F2分別是橢圓的左、右焦點,直線PF2的斜率為-4,則△PF1F2的面積是　　　　

9.分別過橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點F1,F2所作的兩條互相垂直的直線l1, l2的交點在此橢圓的內部,則此橢圓的離心率的取值范圍是　　　　

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高中數學橢圓練習題三、解答題

10.(2013·西安模擬)在平面直角坐標系中,已知曲線C上任意一點P到兩個定點F1(-,0)和F2(,0)的距離之和為4.

(1)求曲線C的方程.

(2)設過(0,-2)的直線l與曲線C交于A,B兩點,以線段AB為直徑作圓.

試問:該圓能否經過坐標原點?若能,請寫出此時直線l的方程,并證明你的結論;若不能,請說明理由.

11.(2013·渭南模擬)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的右頂點A為拋物線y2=8x的焦點,上頂點為B,離心率為.

(1)求橢圓C的方程.

(2)過點(0,)且斜率為k的直線l與橢圓C相交于P,Q兩點,若線段PQ的中點橫坐標是-,求直線l的方程.

12.(能力挑戰題)已知點P是圓F1:(x+)2+y2=16上任意一點,點F2與點F1關于原點對稱.線段PF2的中垂線與PF1交于M點.

(1)求點M的軌跡C的方程.

(2)設軌跡C與x軸的兩個左右交點分別為A,B,點K是軌跡C上異于A,B的任意一點,KH⊥x軸,H為垂足,延長HK到點Q使得|HK|=|KQ|,連接AQ并延長交過B且垂直于x軸的直線l于點D,N為DB的中點.試判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關系.

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高中數學橢圓練習題答案

1.【解析】選B.由題意得2a=2b,即a=b.

又a2=b2+c2,所以有b=c,∴a=c,得離心率e=.

2.【解析】選A.圓C的方程可化為(x-1)2+y2=16.

知其半徑r=4,∴長軸長2a=4,∴a=2.

又e==,

∴c=1,b2=a2-c2=4-1=3,

∴橢圓的標準方程為+=1.

3.【解析】選C.因為m是2和8的等比中項，所以m2=16，所以m=±4.當m=4時，圓錐曲線為橢圓x2+=1，離心率為，當m=-4時，圓錐曲線為雙曲線x2-=1，離心率為，綜上選C.

4.【解析】選D.由題意知a=2，所以|BF2|+|AF2|+|AB|=4a=8.因為|BF2|+|AF2|的最大值為5，所以|AB|的最小值為3，當且僅當AB⊥x軸時，取得最小值，此時A(-c，)，B(-c，-)，代入橢圓方程得+=1.又c2=a2-b2=4-b2，所以+=1，即1-+=1，所以=，解得b2=3，所以b=，選D.

5.【解析】選B.由題意知點P的坐標為(-c,)或(-c,-),因為∠F1PF2=60°,那么=,∴2ac=b2,這樣根據a,b,c的關系式化簡得到結論為.

6.【思路點撥】由于c=1,所以只需長軸最小,即公共點P,使得|PF1|+|PF2|最小時的橢圓方程.

【解析】選C.由于c=1,所以離心率最大即為長軸最小.

點F1(-1,0)關于直線x-y+3=0的對稱點為F′(-3,2),

設點P為直線與橢圓的公共點,

則2a=|PF1|+|PF2|=|PF′|+|PF2|≥|F′F2|=2.

取等號時離心率取最大值,

此時橢圓方程為+=1.

7.【解析】根據橢圓焦點在x軸上,可設橢圓方程為+=1(a>b>0).

∵e=,∴=.根據△ABF2的周長為16得4a=16,因此a=4,b=2,所以橢圓方程為+=1.

答案:+=1

8.【解析】由已知F1(-3,0),F2(3,0),所以直線PF2的方程為y=-4(x-3),代入16x2+25y2=400,整理得76x2-450x+650=0,解得:x=或x=(因為x<3,故舍去),

又點P(x,y)在橢圓上,且在x軸上方,得16×()2+25y2=400,

解得y=2,

∴=|F1F2|·y=×6×2=6.

答案:6

9.【思路點撥】關鍵是由l1, l2的交點在此橢圓的內部,得到a,b,c間的關系,進而求得離心率e的取值范圍.

【解析】由已知得交點P在以F1F2為直徑的圓x2+y2=c2上.

又點P在橢圓內部,所以有c20,∴k2>,………………②

則x1+x2=,x1·x2=,代入①,得

(1+k2)·-2k·+4=0.即k2=4,

∴k=2或k=-2,滿足②式.

所以,存在直線l,其方程為y=2x-2或y=-2x-2.

11.【解析】(1)拋物線y2=8x的焦點為A(2,0),依題意可知a=2.

因為離心率e==,所以c=.

故b2=a2-c2=1,

所以橢圓C的方程為:+y2=1.

(2)直線l:y=kx+,

由

消去y可得(4k2+1)x2+

8kx+4=0,

因為直線l與橢圓C相交于P,Q,

所以Δ=(8k)2-4(4k2+1)×4>0,

解得|k|>.

又x1+x2=,x1x2=,

設P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ中點M(x0,y0),

因為線段PQ的中點橫坐標是-,

所以x0===-,

解得k=1或k=,

因為|k|>,所以k=1,

因此所求直線l:y=x+.

12.【解析】(1)由題意得,F1(-,0),F2(,0),

圓F1的半徑為4,且|MF2|=|MP|,

從而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=4>|F1F2|=2,

∴點M的軌跡是以F1,F2為焦點的橢圓,其中長軸2a=4,焦距2c=2,

則短半軸b===1,

橢圓方程為:+ y2=1.

(2)設K(x0,y0),則+=1.

∵|HK|=|KQ|,∴Q(x0,2y0),∴OQ==2,

∴Q點在以O為圓心,2為半徑的圓上,即Q點在以AB為直徑的圓O上.

又A(-2,0),∴直線AQ的方程為y=(x+2).

令x=2,得D(2,).

又B(2,0),N為DB的中點,∴N(2,).

∴=(x0,2y0),=(x0-2,).

∴·=x0(x0-2)+2y0·=x0(x0-2)+=x0(x0-2)+

=x0(x0-2)+x0(2-x0)=0,

∴⊥,∴直線QN與以AB為直徑的圓O相切.

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簡短的數學學習方法

學習是一個不斷溫故而知新的過程，每個人的學習方法不經相同，也許我的學習方法不是最好的，但是找到最合適自己的，才最有效的。今天，小編給大家帶來簡短的數學學習方法。

一：課后復習：我每天課后除了完成老師的作業外，首先我會把當天的知識回顧一遍，尤其是對作業中的錯題要進行整理，把錯題摘抄到我的錯題本上，把錯題原因，解決方法總結一下，再把錯題重新做一遍。加深印象。概念性的知識點，做到背熟。

二：重要的錯題本了，把錯題收集在錯題本上，按照課后復習里提到的錯題整理方法把錯題再梳理一遍。最后再了解一下自己的分數在班級或年級成績里是一個什么檔次。這并不是過分在意分數，而是了解自己實力的好辦法。

三：考前復習：在考試之前，我一般不會過多的去做題了，只是把錯題本拿出來再看看，把沒有把握的，或有疑問的題再看看，就休息了。好的精神狀態在考試時是非常重要的。

四:　考后總結：我一般拿到卷子會先看自己哪錯了，分析一下錯題，是不懂錯的，還是粗心錯的，但是一般都是粗心錯的，這是我的弱項，還是要加強細心程度。

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數學解題的七種技巧

一、 熟悉化策略

所謂熟悉化策略，就是當我們面臨的是一道以前沒有接觸過的陌生題目時，要設法把它化為曾經解過的或比較熟悉的題目，以便充分利用已有的知識、經驗或解題模式，順利地解出原題。

一般說來，對于題目的熟悉程度，取決于對題目自身結構的認識和理解。從結構上來分析，任何一道解答題，都包含條件和結論(或問題)兩個方面。因此，要把陌生題轉化為熟悉題，可以在變換題目的條件、結論(或問題)以及它們的聯系方式上多下功夫。

常用的途徑有：

(一)、充分聯想回憶基本知識和題型：

按照波利亞的觀點，在解決問題之前，我們應充分聯想和回憶與原有問題相同或相似的知識點和題型，充分利用相似問題中的方式、方法和結論，從而解決現有的問題。

(二)、全方位、多角度分析題意：

對于同一道數學題，常常可以不同的側面、不同的角度去認識。因此，根據自己的知識和經驗，適時調整分析問題的視角，有助于更好地把握題意，找到自己熟悉的`解題方向。

(三)恰當構造輔助元素：

數學中，同一素材的題目，常常可以有不同的表現形式;條件與結論(或問題)之間，也存在著多種聯系方式。因此，恰當構造輔助元素，有助于改變題目的形式，溝通條件與結論(或條件與問題)的內在聯系，把陌生題轉化為熟悉題。

數學解題中，構造的輔助元素是多種多樣的，常見的有構造圖形(點、線、面、體)，構造算法，構造多項式，構造方程(組)，構造坐標系，構造數列，構造行列式，構造等價性命題，構造反例，構造數學模型等等。

二、簡單化策略

所謂簡單化策略，就是當我們面臨的是一道結構復雜、難以入手的題目時，要設法把轉化為一道或幾道比較簡單、易于解答的新題，以便通過對新題的考察，啟迪解題思路，以簡馭繁，解出原題。

簡單化是熟悉化的補充和發揮。一般說來，我們對于簡單問題往往比較熟悉或容易熟悉。

因此，在實際解題時，這兩種策略常常是結合在一起進行的，只是著眼點有所不同而已。

解題中，實施簡單化策略的途徑是多方面的，常用的有: 尋求中間環節，分類考察討論，簡化已知條件，恰當分解結論等。

1、尋求中間環節，挖掘隱含條件：

在些結構復雜的綜合題，就其生成背景而論，大多是由若干比較簡單的基本題，經過適當組合抽去中間環節而構成的。

因此，從題目的因果關系入手，尋求可能的中間環節和隱含條件，把原題分解成一組相互聯系的系列題，是實現復雜問題簡單化的一條重要途徑。

2、分類考察討論：

在些數學題，解題的復雜性，主要在于它的條件、結論(或問題)包含多種不易識別的可能情形。對于這類問題，選擇恰當的分類標準，把原題分解成一組并列的簡單題，有助于實現復雜問題簡單化。

3、簡單化已知條件：

有些數學題，條件比較抽象、復雜，不太容易入手。這時，不妨簡化題中某些已知條件，甚至暫時撇開不顧，先考慮一個簡化問題。這樣簡單化了的問題，對于解答原題，常常能起到穿針引線的作用。

4、恰當分解結論：

有些問題，解題的主要困難，來自結論的抽象概括，難以直接和條件聯系起來，這時，不妨猜想一下，能否把結論分解為幾個比較簡單的部分，以便各個擊破，解出原題。

三、直觀化策略：

所謂直觀化策略，就是當我們面臨的是一道內容抽象，不易捉摸的題目時，要設法把它轉化為形象鮮明、直觀具體的問題，以便憑借事物的形象把握題中所及的各對象之間的聯系，找到原題的解題思路。

(一)、圖表直觀：

有些數學題，內容抽象，關系復雜，給理解題意增添了困難，常常會由于題目的抽象性和復雜性，使正常的思維難以進行到底。

對于這類題目，借助圖表直觀，利用示意圖或表格分析題意，有助于抽象內容形象化，復雜關系條理化，使思維有相對具體的依托，便于深入思考，發現解題線索。

(二)、圖形直觀：

有些涉及數量關系的題目，用代數方法求解，道路崎嶇曲折，計算量偏大。這時，不妨借助圖形直觀，給題中有關數量以恰當的幾何分析，拓寬解題思路，找出簡捷、合理的解題途徑。

(三)、圖象直觀：

不少涉及數量關系的題目，與函數的圖象密切相關，靈活運用圖象的直觀性，常常能以簡馭繁，獲取簡便，巧妙的解法。

四、特殊化策略

所謂特殊化策略，就是當我們面臨的是一道難以入手的一般性題目時，要注意從一般退到特殊，先考察包含在一般情形里的某些比較簡單的特殊問題，以便從特殊問題的研究中，拓寬解題思路，發現解答原題的方向或途徑。

五、一般化策略

所謂一般化策略，就是當我們面臨的是一個計算比較復雜或內在聯系不甚明顯的特殊問題時，要設法把特殊問題一般化，找出一個能夠揭示事物本質屬性的一般情形的方法、技巧或結果，順利解出原題。

六、整體化策略

所謂整體化策略，就是當我們面臨的是一道按常規思路進行局部處理難以奏效或計算冗繁的題目時，要適時調整視角，把問題作為一個有機整體，從整體入手，對整體結構進行全面、深刻的分析和改造，以便從整體特性的研究中，找到解決問題的途徑和辦法。

七、間接化策略

所謂間接化策略，就是當我們面臨的是一道從正面入手復雜繁難，或在特定場合甚至找不到解題依據的題目時，要隨時改變思維方向，從結論(或問題)的反面進行思考，以便化難為易解出原題。

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