橢圓面積知識點(diǎn)

橢圓的面積公式

S=π(圓周率)×a×b(其中a,b分別是橢圓的長半軸,短半軸的長).

或S=π(圓周率)×A×B/4(其中A,B分別是橢圓的長軸,短軸的長).

橢圓的周長公式

橢圓周長沒有公式，有積分式或無限項展開式。

橢圓周長(L)的精確計算要用到積分或無窮級數(shù)的求和。如

L = ∫[0,π/2]4a _ sqrt(1-(e_cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2) [橢圓近似周長], 其中a為橢圓長半軸,e為離心率

橢圓離心率的定義為橢圓上的點(diǎn)到某焦點(diǎn)的距離和該點(diǎn)到該焦點(diǎn)對應(yīng)的準(zhǔn)線的距離之比，設(shè)橢圓上點(diǎn)P到某焦點(diǎn)距離為PF，到對應(yīng)準(zhǔn)線距離為PL，則

e=PF/PL

橢圓的準(zhǔn)線方程

x=±a^2/C

橢圓的離心率公式

e=c/a(e<1,因為2a>2c)

橢圓的焦準(zhǔn)距 ：橢圓的焦點(diǎn)與其相應(yīng)準(zhǔn)線(如焦點(diǎn)(c,0)與準(zhǔn)線x=+a^2/C)的距離,數(shù)值=b^2/c

橢圓焦半徑公式 |PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0

橢圓過右焦點(diǎn)的半徑r=a-ex

過左焦點(diǎn)的半徑r=a+ex

橢圓的通徑：過焦點(diǎn)的垂直于x軸(或y軸)的直線與橢圓的兩交點(diǎn)A,B之間的距離，數(shù)值=2b^2/a

點(diǎn)與橢圓位置關(guān)系 點(diǎn)M(x0，y0) 橢圓 x^2/a^2+y^2/b^2=1

點(diǎn)在圓內(nèi)： x0^2/a^2+y0^2/b^2<1

點(diǎn)在圓上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1

點(diǎn)在圓外： x0^2/a^2+y0^2/b^2>1

直線與橢圓位置關(guān)系

y=kx+m ①

x^2/a^2+y^2/b^2=1 ②

由①②可推出x^2/a^2+(kx+m)^2/b^2=1

相切△=0

相離△<0無交點(diǎn)

相交△>0 可利用弦長公式：A(x1,y1) B(x2,y2)

|AB|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2

橢圓通徑(定義：圓錐曲線(除圓外)中，過焦點(diǎn)并垂直于軸的弦)公式：2b^2/a

橢圓的斜率公式　過橢圓上x^2/a^2+y^2/b^2=1上一點(diǎn)(x，y)的切線斜率為 -(b^2)X/(a^2)y

橢圓的相關(guān)定義

橢圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的動點(diǎn)P的軌跡，F(xiàn)1、F2稱為橢圓的兩個焦點(diǎn)。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|)。

第一定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a(2a≥|F1F2|)的動點(diǎn)P的軌跡叫做橢圓。即：其中兩定點(diǎn)F1、F2叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離|F1F2|=2c≤2a叫做橢圓的焦距。P為橢圓的動點(diǎn)。

第二定義：橢圓平面內(nèi)到定點(diǎn)F(c，0)的距離和到定直線l：x=a?/c(F不在l上)的距離之比為常數(shù)從C/A,(即離心率，0<e<1)的點(diǎn)的軌跡是橢圓。< p="">

第三定義：平面內(nèi)的動點(diǎn)到兩定點(diǎn)A1(a，0)、A2(-a，0)的斜率乘積，等于常數(shù) e?-1的點(diǎn)的軌跡，叫做橢圓或雙曲線，其中兩定點(diǎn)分別為橢圓或雙曲線的頂點(diǎn);當(dāng)常數(shù)大于-1小于0時為橢圓;當(dāng)常數(shù)大于0時為雙曲線。

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程共分兩種情況：

當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0);

當(dāng)焦點(diǎn)在y軸時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0);

其中a^2-c^2=b^2

推導(dǎo):PF1+PF2>F1F2(P為橢圓上的點(diǎn)F為焦點(diǎn))

橢圓的對稱性

不論焦點(diǎn)在X軸還是Y軸，橢圓始終關(guān)于X/Y/原點(diǎn)對稱。

頂點(diǎn)：

焦點(diǎn)在X軸時：長軸頂點(diǎn)：(-a，0)，(a，0)

短軸頂點(diǎn)：(0，b)，(0，-b)

焦點(diǎn)在Y軸時：長軸頂點(diǎn)：(0,-a)，(0,a)

短軸頂點(diǎn)：(b,0)，(-b,0)

注意長短軸分別代表哪一條軸，在此容易引起混亂，還需數(shù)形結(jié)合逐步理解透徹。

焦點(diǎn)：

當(dāng)焦點(diǎn)在X軸上時焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(-c,0)F2(c,0)

當(dāng)焦點(diǎn)在Y軸上時焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(0，-c)F2(0,c)

橢圓焦點(diǎn)三角形面積公式

橢圓的焦點(diǎn)三角形是指以橢圓的兩個焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2與橢圓上任意一點(diǎn)P(不與焦點(diǎn)共線)為頂點(diǎn)組成的三角形。橢圓的焦點(diǎn)三角形性質(zhì)為：

(1)|PF1|+|PF2|=2a

(2)4c?=|PF1|?+|PF2|?-2|PF1|·|PF2|·cosθ

(3)周長=2a+2c

(4)面積=S=b?·tan(θ/2)(∠F1PF2=θ)

證明：

設(shè)P為橢圓上的任意一點(diǎn)P(不與焦點(diǎn)共線)，

∠F2F1P=α ，∠F1F2P=β， ∠F1PF2=θ，

則有離心率e=sin(α+β) / (sinα+sinβ)，

焦點(diǎn)三角形面積S=b?·tan(θ/2)。