橢圓的面積公式

S=(圓周率)ab(其中a,b分別是橢圓的長半軸,短半軸的長).

或S=(圓周率)AB/4(其中A,B分別是橢圓的長軸,短軸的長).

橢圓的周長公式

橢圓周長沒有公式，有積分式或無限項展開式。

橢圓周長(L)的精確計算要用到積分或無窮級數(shù)的求和。如

L = /2]4a _ sqrt(1-(e_cost)^2)dt((a^2+b^2)/2) [橢圓近似周長], 其中a為橢圓長半軸,e為離心率

橢圓離心率的定義為橢圓上的點到某焦點的距離和該點到該焦點對應(yīng)的準(zhǔn)線的距離之比，設(shè)橢圓上點P到某焦點距離為PF，到對應(yīng)準(zhǔn)線距離為PL，則

e=PF/PL

橢圓的準(zhǔn)線方程

x=a^2/C

橢圓的離心率公式

e=c/a(e1,因為2a2c)

橢圓的焦準(zhǔn)距 ：橢圓的焦點與其相應(yīng)準(zhǔn)線(如焦點(c,0)與準(zhǔn)線x=+a^2/C)的`距離,數(shù)值=b^2/c

橢圓焦半徑公式：|PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0

橢圓過右焦點的半徑r=a-ex

過左焦點的半徑r=a+ex

橢圓的通徑：過焦點的垂直于x軸(或y軸)的直線與橢圓的兩交點A,B之間的距離，數(shù)值=2b^2/a

點與橢圓位置關(guān)系：點M(x0，y0) 橢圓 x^2/a^2+y^2/b^2=1

點在圓內(nèi)： x0^2/a^2+y0^2/b^21

點在圓上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1

點在圓外： x0^2/a^2+y0^2/b^21

直線與橢圓位置關(guān)系

y=kx+m ①

x^2/a^2+y^2/b^2=1 ②

由①②可推出x^2/a^2+(kx+m)^2/b^2=1

相切△=0

相離△0無交點

相交△0 可利用弦長公式：A(x1,y1) B(x2,y2)

|AB|=d = (1+k^2)|x1-x2| = (1+k^2)(x1-x2)^2 = (1+1/k^2)|y1-y2| = (1+1/k^2)(y1-y2)^2

橢圓通徑(定義：圓錐曲線(除圓外)中，過焦點并垂直于軸的弦)公式：2b^2/a

橢圓的面積公式怎么算

點與橢圓

點M(x0，y0)橢圓x?/a?+y?/b?=1;

點在圓內(nèi)：x0?/a?+y0?/b?<1;

點在圓上：x0?/a?+y0?/b?=1;

點在圓外：x0?/a?+y0?/b?>1;

跟圓與直線的位置關(guān)系一樣的：相交、相離、相切。

直線與橢圓

y=kx+m①

x?/a+y?/b?=1②

由①②可推出x?/a?+(kx+m)?/b?=1

相切△=0

相離△<0無交點

相交△>0可利用弦長公式：設(shè)A(x1,y1)B(x2,y2)

求中點坐標(biāo)

根據(jù)韋達定理x1+x2=-b/a,x1_x2=c/a

帶入直線方程可求出y+y/2=可求出中點坐標(biāo)。

|AB|=d=√(1+k?)[(x1+x2)?-4x1_x2]=√(1+1/k?)[(y1+y2)?-4x1_x2]

橢圓面積用定積分怎么算

橢圓面積用定積分算為S=abπ。

解題思路：

設(shè)橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1

取第一象限內(nèi)面積 有 y^2=b^2-b^2/a^2_x^2

即 y=√(b^2-b^2/a^2_x^2)

=b/a_√(a^2-x^2)

由于該式反導(dǎo)數(shù)為所求面積，觀察到原式為圓方程公式_a/b，根據(jù)(af(x))'=a_f'(x),且x=a時圓面積為a^2π/4

可得 當(dāng)x=a時，1/4S=b/a_1/4_a^2_π=abπ/4

即S=abπ。

面積推導(dǎo)導(dǎo)數(shù)方法

設(shè)橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1

取第一象限內(nèi)面積有y^2=b^2-b^2/a^2_x^2

即y=√(b^2-b^2/a^2_x^2)

=b/a_√(a^2-x^2)

由于該式反導(dǎo)數(shù)為所求面積，觀察到原式為圓方程公式_a/b，根據(jù)(af(x))'=a_f'(x),且x=a時圓面積為a^2π/4

可得當(dāng)x=a時，1/4S=b/a_1/4_a^2_π=abπ/4

即S=abπ。

此方法比較容易理解。

橢圓定義

第一定義

平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a(2a>▏F1F2▕)的動點P的軌跡叫做橢圓。

即：▏F1▕+▏F2▕=2a

其中兩定點F1、F2叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離▏F1F2▕=2c<2a叫做橢圓的焦距。P為橢圓的動點。

橢圓截與兩焦點連線重合的直線所得的弦為長軸，長為2a。

橢圓截垂直平分兩焦點連線的直線所得弦為短軸，長為2b。

第二定義

橢圓平面內(nèi)到定點F(c，0)的距離和到定直線l：x=a2/c(F不在l上)的距離之比為常數(shù)c/a(即離心率e，0<e<1)的點的軌跡是橢圓。< p="">

其中定點F為橢圓的焦點，定直線L稱為橢圓的準(zhǔn)線(該定直線的方程是

(焦點在x軸上)，或(焦點在y軸上))。

其他定義

根據(jù)橢圓的一條重要性質(zhì)：橢圓上的點與橢圓長軸(事實上只要是直徑都可以)兩端點連線的斜率之積是定值，定值為e2-1(前提是長軸平行于x軸。若長軸平行于y軸，比如焦點在y軸上的橢圓，可以得到斜率之積為-a?/b?=1/(e?-1))，可以得出：

在坐標(biāo)軸內(nèi)，動點(x,y)到兩定點(a,0)(-a,0)的斜率乘積等于常數(shù)m(-1<m<0)。< p="">

注意：考慮到斜率不存在時不滿足乘積為常數(shù)，所以x=±a無法取到，即該定義僅為去掉四個點的橢圓。

橢圓也可看做圓按一定方向作壓縮或拉伸一定比例所得圖形。