高考數學基礎知識點

　　(2)注意：討論的時候不要遺忘了的情況。

　　(3)第二部分函數與導數

　　1.映射：注意①第一個集合中的元素必須有象;②一對一，或多對一。

　　2.函數值域的求法：①分析法;②配方法;③判別式法;④利用函數單調性;

　　⑤換元法;⑥利用均值不等式;⑦利用數形結合或幾何意義(斜率、距離、絕對值的意義等);⑧利用函數有界性(、、等);⑨導數法

　　3.復合函數的有關問題

　　(1)復合函數定義域求法：

　　①若f(x)的定義域為〔a，b〕,則復合函數f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出②若f[g(x)]的定義域為[a,b],求 f(x)的定義域，相當于x∈[a,b]時，求g(x)的值域。

　　(2)復合函數單調性的判定：

　　①首先將原函數分解為基本函數：內函數與外函數;

　　②分別研究內、外函數在各自定義域內的單調性;

　　③根據“同性則增，異性則減”來判斷原函數在其定義域內的單調性。

　　注意：外函數的定義域是內函數的值域。

　　4.分段函數：值域(最值)、單調性、圖象等問題，先分段解決，再下結論。

　　5.函數的奇偶性

　　⑴函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件;

　　⑵是奇函數;

　　⑶是偶函數;

　　⑷奇函數在原點有定義，則;

　　⑸在關于原點對稱的單調區間內：奇函數有相同的單調性，偶函數有相反的單調性;

　　(6)若所給函數的解析式較為復雜，應先等價變形，再判斷其奇偶性;

　　6.函數的單調性

　　⑴單調性的定義：

　　①在區間上是增函數當時有 ;

　　②在區間上是減函數當時有 ;

　　⑵單調性的判定

　　1 定義法：

　　注意：一般要將式子化為幾個因式作積或作商的形式，以利于判斷符號;

　　②導數法(見導數部分);

　　③復合函數法(見2 (2));

　　④圖像法。

　　注：證明單調性主要用定義法和導數法。

　　7.函數的周期性

　　(1)周期性的定義：

　　對定義域內的任意，若有(其中為非零常數)，則稱函數為周期函數，為它的一個周期。

　　所有正周期中最小的稱為函數的最小正周期。如沒有特別說明，遇到的周期都指最小正周期。

　　(2)三角函數的周期

　　①;②;③;

　　④;⑤;

　　⑶函數周期的判定

　　①定義法(試值)②圖像法③公式法(利用(2)中結論)

　　⑷與周期有關的結論

　　①或 的周期為;

　　②的圖象關于點中心對稱周期為2 ;

　　③的圖象關于直線軸對稱周期為2 ;

　　④的圖象關于點中心對稱，直線軸對稱周期為4 ;

　　8.基本初等函數的圖像與性質

　　⑴冪函數：(;⑵指數函數：;

　　⑶對數函數: ;⑷正弦函數: ;

　　⑸余弦函數：;(6)正切函數：;⑺一元二次函數：;

　　⑻其它常用函數：

　　1 正比例函數：;②反比例函數：;特別的

　　2 函數;

　　9.二次函數：

　　⑴解析式：

　　①一般式：;②頂點式：，為頂點;

　　③零點式：。

　　⑵二次函數問題解決需考慮的因素：

　　①開口方向;②對稱軸;③端點值;④與坐標軸交點;⑤判別式;⑥兩根符號。

　　⑶二次函數問題解決方法：①數形結合;②分類討論。

　　10.函數圖象：

　　⑴圖象作法：①描點法(特別注意三角函數的五點作圖)②圖象變換法③導數法

　　⑵圖象變換：

　　1 平移變換：ⅰ，2 ———“正左負右”

　　ⅱ ———“正上負下”;

　　3 伸縮變換：

　　ⅰ，( ———縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的倍;

　　ⅱ，( ———橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的倍;

　　4 對稱變換：ⅰ ;ⅱ ;

　　ⅲ ;ⅳ ;

　　5 翻轉變換：

　　ⅰ ———右不動，右向左翻(在左側圖象去掉);

　　ⅱ ———上不動，下向上翻(| |在下面無圖象);

　　11.函數圖象(曲線)對稱性的證明

　　(1)證明函數圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在圖像上;

　　(2)證明函數與圖象的對稱性，即證明圖象上任意點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點在的圖象上，反之亦然;

　　注：

　　①曲線C1:f(x,y)=0關于點(a,b)的對稱曲線C2方程為：f(2a-x,2b-y)=0;

　　②曲線C1:f(x,y)=0關于直線x=a的對稱曲線C2方程為：f(2a-x, y)=0;

　　③曲線C1：f(x,y)=0,關于y=x+a(或y=-x+a)的對稱曲線C2的方程為f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);

　　④f(a+x)=f(b-x) (x∈R) y=f(x)圖像關于直線x= 對稱;

　　特別地：f(a+x)=f(a-x) (x∈R) y=f(x)圖像關于直線x=a對稱;

　　⑤函數y=f(x-a)與y=f(b-x)的圖像關于直線x= 對稱;

　　12.函數零點的求法：

　　⑴直接法(求的根);⑵圖象法;⑶二分法.

　　13.導數

　　⑴導數定義：f(x)在點x0處的導數記作;

　　⑵常見函數的導數公式: ①;②;③;

　　④;⑤;⑥;⑦;

　　⑧。

　　⑶導數的四則運算法則：

　　⑷(理科)復合函數的導數：

　　⑸導數的應用：

　　①利用導數求切線：注意：ⅰ所給點是切點嗎?ⅱ所求的是“在”還是“過”該點的切線?

　　②利用導數判斷函數單調性：

　　ⅰ是增函數;ⅱ為減函數;

　　ⅲ為常數;

　　③利用導數求極值：ⅰ求導數;ⅱ求方程的根;ⅲ列表得極值。

　　④利用導數最大值與最小值：ⅰ求的極值;ⅱ求區間端點值(如果有);ⅲ得最值。

　　14.(理科)定積分

　　⑴定積分的定義：

　　⑵定積分的性質：①(常數);

　　②;

　　③(其中。

　　⑶微積分基本定理(牛頓—萊布尼茲公式)：

　　⑷定積分的應用：①求曲邊梯形的面積：;

　　3 求變速直線運動的路程：;③求變力做功：。

　　第三部分三角函數、三角恒等變換與解三角形

　　1.⑴角度制與弧度制的互化：弧度，弧度，弧度

　　⑵弧長公式：;扇形面積公式：。

　　2.三角函數定義：角中邊上任意一點為，設則：

　　3.三角函數符號規律：一全正，二正弦，三兩切，四余弦;

　　4.誘導公式記憶規律：“函數名不(改)變，符號看象限”;

　　5.⑴對稱軸：;對稱中心：;

　　⑵對稱軸：;對稱中心：;

　　6.同角三角函數的基本關系：;

　　7.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：①

　　②③。

　　8.二倍角公式：①;

　　②;③。

　　9.正、余弦定理：

　　⑴正弦定理： (是外接圓直徑)

　　注：①;②;③。

　　⑵余弦定理：等三個;注：等三個。

　　10。幾個公式:

　　⑴三角形面積公式：;

　　⑵內切圓半徑r= ;外接圓直徑2R=

　　11.已知時三角形解的個數的判定：

　　第四部分 立體幾何

　　1.三視圖與直觀圖：注：原圖形與直觀圖面積之比為。

　　2.表(側)面積與體積公式：

　　⑴柱體：①表面積：S=S側+2S底;②側面積：S側= ;③體積：V=S底h

　　⑵錐體：①表面積：S=S側+S底;②側面積：S側= ;③體積：V= S底h：

　　⑶臺體：①表面積：S=S側+S上底S下底;②側面積：S側= ;③體積：V= (S+ )h;

　　⑷球體：①表面積：S= ;②體積：V= 。

　　3.位置關系的證明(主要方法)：

　　⑴直線與直線平行：①公理4;②線面平行的性質定理;③面面平行的性質定理。

　　⑵直線與平面平行：①線面平行的判定定理;②面面平行線面平行。

　　⑶平面與平面平行：①面面平行的判定定理及推論;②垂直于同一直線的兩平面平行。

　　⑷直線與平面垂直：①直線與平面垂直的判定定理;②面面垂直的性質定理。

　　⑸平面與平面垂直：①定義---兩平面所成二面角為直角;②面面垂直的判定定理。

　　注：理科還可用向量法。

　　4.求角：(步驟-------Ⅰ。找或作角;Ⅱ。求角)

　　⑴異面直線所成角的求法：

　　1 平移法：平移直線，2 構造三角形;

　　3 ②補形法：補成正方體、平行六面體、長方體等，4 發現兩條異面直線間的關系。

　　注：理科還可用向量法，轉化為兩直線方向向量的夾角。

　　⑵直線與平面所成的角：

　　①直接法(利用線面角定義);②先求斜線上的點到平面距離h，與斜線段長度作比，得sin 。

　　注：理科還可用向量法，轉化為直線的方向向量與平面法向量的夾角。

　　⑶二面角的求法：

　　①定義法：在二面角的棱上取一點(特殊點)，作出平面角，再求解;

　　②三垂線法：由一個半面內一點作(或找)到另一個半平面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角，再求解;

　　③射影法：利用面積射影公式： ,其中為平面角的大小;

　　注：對于沒有給出棱的二面角，應先作出棱，然后再選用上述方法;

　　理科還可用向量法，轉化為兩個班平面法向量的夾角。

　　5.求距離：(步驟-------Ⅰ。找或作垂線段;Ⅱ。求距離)

　　⑴兩異面直線間的距離：一般先作出公垂線段，再進行計算;

　　⑵點到直線的距離：一般用三垂線定理作出垂線段，再求解;

　　⑶點到平面的距離：

　　①垂面法：借助面面垂直的性質作垂線段(確定已知面的垂面是關鍵)，再求解;

　　5 等體積法;

　　理科還可用向量法：。

　　⑷球面距離：(步驟)

　　(Ⅰ)求線段AB的長;(Ⅱ)求球心角∠AOB的弧度數;(Ⅲ)求劣弧AB的長。

　　6.結論：

　　⑴從一點O出發的三條射線OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，則點A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分線上;

　　⑵立平斜公式(最小角定理公式)：

　　⑶正棱錐的各側面與底面所成的角相等，記為，則S側cos =S底;

　　⑷長方體的性質

　　①長方體體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為則：cos2 +cos2 +cos2=1;sin2 +sin2 +sin2 =2 。

　　②長方體體對角線與過同一頂點的三側面所成的角分別為則有cos2 +cos2 +cos2=2;sin2 +sin2 +sin2 =1 。

　　⑸正四面體的性質：設棱長為，則正四面體的：

　　1 高：;②對棱間距離：;③相鄰兩面所成角余弦值：;④內切2 球半徑：;外接球半徑：;

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