三角函數推導萬能公式大全

1、三角函數推導公式——萬能公式推導

sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/[cos2(α)+sin2(α)]，

(因為cos2(α)+sin2(α)=1)

再把分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/[1+tan2(α)]

然后用α/2代替α即可。

同理可推導余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比余弦得到。

2、三角函數推導公式——三倍角公式推導

tan3α=sin3α/cos3α

=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

=[2sinαcos2(α)+cos2(α)sinα-sin3(α)]/[cos3(α)-cosαsin2(α)-2sin2(α)cosα]

上下同除以cos3(α)，得：

tan3α=[3tanα-tan3(α)]/[1-3tan2(α)]

sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

=2sinαcos2(α)+[1-2sin2(α)]sinα=2sinα-2sin3(α)+sinα-2sin3(α)

=3sinα-4sin3(α)

cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα

=[2cos2(α)-1]cosα-2cosαsin2(α)

=2cos3(α)-cosα+[2cosα-2cos3(α)]

=4cos3(α)-3cosα

即

sin3α=3sinα-4sin3(α)

cos3α=4cos3(α)-3cosα

3、三角函數推導公式——和差化積公式推導

首先,我們知道sin(a+b)=sinacosb+cosasinb，sin(a-b)=sinacosb-cosasinb我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb

同理，若把兩式相減，就得到cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2

同樣的，我們還知道cos(a+b)=cosacosb-sinasinb，cos(a-b)=cosacosb+sinasinb

所以，把兩式相加，我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb

同理，兩式相減我們就得到sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2

這樣，我們就得到了積化和差的公式：

cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2

sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2

好，有了積化和差的四個公式以后，我們只需一個變形，就可以得到和差化積的四個公式

我們把上述四個公式中的a+b設為x，a-b設為y，那么a=(x+y)/2，b=(x-y)/2

把a,b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個公式:

sinx+siny=2sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]

sinx-siny=2cos[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]

cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]cosx-cosy=-2sin[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]

4、同角三角函數的基本關系式

倒數關系

tanα ·cotα=1

sinα ·cscα=1

cosα ·secα=1

商的關系

sinα/cosα=tanα=secα/cscα

cosα/sinα=cotα=cscα/secα

平方關系

sin2(α)+cos2(α)=1

1+tan2(α)=sec2(α)

1+cot2(α)=csc2(α)

同角三角函數關系六角形記憶法

構造以“上弦、中切、下割;左正、右余、中間1”的正六邊形為模型。

倒數關系

對角線上兩個函數互為倒數;

商數關系

六邊形任意一頂點上的函數值等于與它相鄰的兩個頂點上函數值的乘積。(主要是兩條虛線兩端的三角函數值的乘積，下面4個也存在這種關系。)由此，可得商數關系式。

平方關系

在帶有陰影線的三角形中，上面兩個頂點上的三角函數值的平方和等于下面頂點上的三角函數值的平方。

三角函數的8個誘導公式是什么

1. 正弦函數的誘導公式

sin(-x) = -sin(x)

這個公式表明，正弦函數的值在x軸上是關于原點對稱的。也就是說，如果一個角度的正弦值為a，那么它的相反數的正弦值就是-a。這個公式在解三角形問題時非常有用，為它可以幫助我們計算負角度的正弦值。

2. 余弦函數的誘導公式

cos(-x) = cos(x)

這個公式表明，余弦函數的值在y軸上是關于原點對稱的。也就是說，如果一個角度的余弦值為a，那么它的相反數的余弦值也是a。這個公式同樣也可以幫助我們計算負角的余弦值。

3. 正切函數的誘導公式

tan(-x) = -tan(x)

這個公式表明，正切函數的值在原點上是關于y軸對稱的。也就是說，如果一個角的正切值為a，那么它的相反數的正切值就是-a。這個公式在計算負角的正切值時非常有用。

4. 余切函數的誘導公式

cot(-x) = -cot(x)

這個公式表明，余切函數的值在原點上是關于x軸對稱的。也就是說，如果一個角的余切值為a，那么它的相反數的余切值就是-a。這個公式同樣也可以幫助我們計算負角的余切值。

5. 正弦函數的平方的誘導公式

sin^2(x) + cos^2(x) = 1

這個公式是三角函數中最著名的公式之一，它表明正弦函數的平方加上余弦函數的平方等于1。這個公式在解三角形問題時非常有用，為它可以幫助我們計算三角形中的未知邊長。

6. 正切函數的平方的誘導公式

tan^2(x) + 1 = sec^2(x)

這個公式表明，正切函數的平方加1等于其對應的正割函數的平方。這個公式在計算三角形中的未知邊長時非常有用。

7. 余切函數的平方的誘導公式

cot^2(x) + 1 = csc^2(x)

這個公式表明，余切函數的平方加1等于其對應的余割函數的平方。這個公式同樣也可以幫助我們計算三角形中的未知邊長。

8. 正弦函數和余弦函數的誘導公式

sin(x + π/2) = cos(x)

cos(x + π/2) = -sin(x)

這兩個公式表明，正弦函數和余弦函數之間存在一種特殊的關系，即它們的相位差為π/2。這個公式在計算三角函數的復合函數時非常有用。

三角函數記憶口訣

“奇、偶”指的是π/2的倍數的奇偶，“變與不變”指的是三角函數的名稱的變化：“變”是指正弦變余弦，正切變余切。(反之亦然成立)“符號看象限”的含義是：

把角α看做銳角，不考慮α角所在象限，看n·(π/2)±α是第幾象限角，從而得到等式右邊是正號還是負號。

以cos(π/2+α)=-sinα為例，等式左邊cos(π/2+α)中n=1，所以右邊符號為sinα，把α看成銳角，所以π/2<(π/2+α)<π，y=cosx在區間(π/2，π)上小于零，所以右邊符號為負，所以右邊為-sinα。

符號判斷口訣：

全,S,T,C,正。這五個字口訣的意思就是說：第一象限內任何一個角的四種三角函數值都是“+”;第二象限內只有正弦是“+”，其余全部是“-”;第三象限內只有正切是“+”，其余全部是“-”;第四象限內只有余弦是“+”，其余全部是“-”。

也可以這樣理解：一、二、三、四指的角所在象限。全正、正弦、正切、余弦指的是對應象限三角函數為正值的名稱。口訣中未提及的都是負值。

“ASTC”反Z。意即為“all(全部)”、“sin”、“tan”、“cos”按照將字母Z反過來寫所占的象限對應的三角函數為正值。

另一種口訣：正弦一二切一三，余弦一四緊相連，言之為正。

三角函數怎樣算度數

一、sin度數公式

1、sin 30= 1/2

2、sin 45=根號2/2

3、sin 60= 根號3/2

二、cos度數公式

1、cos 30=根號3/2

2、cos 45=根號2/2

3、cos 60=1/2

三、tan度數公式

1、tan 30=根號3/3

2、tan 45=1

3、tan 60=根號3

知識拓展：

sin0=sin0°=0

cos0=cos0°=1

tan0=tan0°=0sin15=0.650;

sin15°=0.259

三角函數的基本解釋

三角函數是基本初等函數之一，是以角度(數學上最常用弧度制，下同)為自變量，角度對應任意角終邊與單位圓交點坐標或其比值為因變量的函數。也可以等價地用與單位圓有關的各種線段的長度來定義。

三角函數在研究三角形和圓等幾何形狀的性質時有重要作用，也是研究周期性現象的基礎數學工具。在數學分析中，三角函數也被定義為無窮級數或特定微分方程的解，允許它們的取值擴展到任意實數值，甚至是復數值。

常見的三角函數包括正弦函數、余弦函數和正切函數。在航海學、測繪學、工程學等其他學科中，還會用到如余切函數、正割函數、余割函數、正矢函數、余矢函數、半正矢函數、半余矢函數等其他的三角函數。不同的三角函數之間的關系可以通過幾何直觀或者計算得出，稱為三角恒等式。

cos15=-0.759;cos15°=0.966

tan15=-0.855;tan15°=0.268

sin30°=1/2