乘法與因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式 |a+b||a|+|b| |a-b||a|+|b| |a|b=-ba

|a-b||a|-|b| -|a|a|a|

一元二次方程的解 -b+(b2-4ac)/2a -b-(b2-4ac)/2a

根與系數的關系 X1+X2=-b/a X1_X2=c/a 注：韋達定理

判別式

2-4ac=0 注：方程有兩個相等的實根

2-4ac0 注：方程有兩個不等的實根

2-4ac0 注：方程沒有實根，有共軛復數根

三角函數公式

兩角和公式

in(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式

in(A/2)=((1-cosA)/2) sin(A/2)=-((1-cosA)/2)

cos(A/2)=((1+cosA)/2) cos(A/2)=-((1+cosA)/2)

tan(A/2)=((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-((1+cosA)/((1-cosA))

和差化積

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

inA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些數列前n項和

1+2+3+4+5+6+7+8+9++n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15++(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14++(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82++n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+n3=n2(n+1)2/4 1_2+2_3+3_4+4_5+5_6+6_7++n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圓半徑

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是邊a和邊c的夾角圓的標準方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圓心坐標

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圓的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F0

拋物線標準方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

直棱柱側面積 S=c_h 斜棱柱側面積 S=c_h

正棱錐側面積 S=1/2c_h 正棱臺側面積 S=1/2(c+c)h

圓臺側面積 S=1/2(c+c)l=pi(R+r)l 球的表面積 S=4pi_r2

圓柱側面積 S=c_h=2pi_h 圓錐側面積 S=1/2_c_l=pi_r_l

弧長公式 l=a_r a是圓心角的弧度數r 0 扇形面積公式 s=1/2_l_r

錐體體積公式 V=1/3_S_H 圓錐體體積公式 V=1/3_pi_r2h

斜棱柱體積 V=SL 注：其中,S是直截面面積， L是側棱長

柱體體積公式 V=s_h 圓柱體 V=pi_r2h

通項公式的求法：

(1)構造等比數列：凡是出現關于后項和前項的一次遞推式都可以構造等比數列求通項公式;

(2)構造等差數列：遞推式不能構造等比數列時，構造等差數列;

(3)遞推：即按照后項和前項的對應規律，再往前項推寫對應式。

已知遞推公式求通項常見方法：

①已知a1=a,an+1=qan+b,求an時，利用待定系數法求解，其關鍵是確定待定系數，使an+1 +=q(an+)進而得到。

②已知a1=a,an=an-1+f(n)(n2),求an時，利用累加法求解，即an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)++(an-an-1)的方法。

③已知a1=a,an=f(n)an-1(n2)，求an時，利用累乘法求解。

學數學的小方法

有良好的學習興趣，試著去培養數學得興趣，久而久之，你就會發現數學并不是那么得難，試著多看看有關數學的動漫以及書本，都可以培養你對數學的興趣。

課前復習，試著看一看書上的原話，沒看懂的地方用記號筆畫上，等上課的時候認真聽課，把沒聽懂的地方聽懂，也可以舉手問老師，老師會為你講解。

重視對概念的理解，不要去把那些能理解的話死記硬背下來，理解就行，實在不行就舉例子，如：因為正數大于0，負數小于0，所以正數大于負數。一步步去把它推導出來，當然，基礎還是要背的，其他理解了就行。

強大的空間想象力，學習幾何圖形都需要強大的空間想象力，而培養空間想象力的方法就是：1.善于畫圖，多畫圖，2.用教學器具培養你的觀察想象力，3.如第一個，學，練習，畫，有助于想象力的培養。4.自己多做實驗，使抽象化的物體變的立體起來。

找一個學習超好，班里前3的人作為“敵人”，試著把他作為你的仇人，想想自己為什么超不過他，為什么學習沒他強，試著激怒自己，并努力超過他，有時候，成功是需要敵人的幫助的。

正確面對事實，假如你在一次考試中考差了，不要灰心，多想想自己為什么會錯在那個地方，做好考后一百分，這樣后，把錯題寫在錯題本上，并把方法和錯題答法寫在上面，有助于你的下一次考試成績提高，用名人的一句話來說：沒有失敗，何有成功?以及愛迪生說的：失敗乃成功之母。考差的時候多想想這些話，鼓勵自己。

課內認真聽講，課后努力復習。上課要跟著老師思路來，老師講哪里你看哪里，不懂下課就去問，上課積極舉手，養成聽課好習慣，下課休息時光去上個廁所就回來，趴在課桌上想想老師講過的內容，腦內放電影，提高效率。

多做題，養成良好習慣。想要學好數學，多做題是難免的，當你攻克完一道題以后，不要急著去做下一題，試著用其他辦法，看能不能做出這道題，做不出，要積極詢問老師，老師會為你講解，你只需要把方法記住，套路記住就行了。實踐證明：越到關鍵時候，你所表現的解題習慣與平時練習無異。如果平時解題時隨便、粗心、大意等，往往在大考中充分暴露，故在平時養成良好的解題習慣是非常重要的。

學數學必須遵循的規律

01

第四個原則：學習數學必須遵循從具象到形象再到抽象的規律。

數學，本是源自生活，為了解決具體的問題而生?？梢哉f，一點也不神秘，更不會深奧。為什么我們學起來又會那么困難?

原因在于我們學習數學的方法是錯誤的，我們沒有按照大腦工作的習慣來學習，沒有遵循從具象到形象再到抽象的規律，太急功近利了，使得這么一門本來很具體的學科變得很晦澀難懂。

02

大腦分左右腦，左腦負責邏輯思維，右腦負責圖像記憶。人類學東西，一般會從右腦開始，先有個大概的形象，才能進一步通過左腦去思考?？梢哉f，右腦在很多方面的效率是優于左腦的，這是長期進化的結果。

打個比方，如果我們看見一只老虎，不是趕緊跑，而是先在腦子里思考一番，看看有沒有危險，那么，我們很快就會一命嗚呼了。如果用右腦來處理則簡單多了，一看見老虎這個形象，身體立刻反應，起身就逃。正是這種本能且未經思考的快速反應才使得人類可以在惡劣的環境中得以自保，繁衍生息。

左腦在什么時候會更有效率?在處理更復雜的環境下，左腦更有效率。左腦可以根據以往經驗的分析、判斷，從而辨析每一種情況的真實性，并作出對應的反應。還拿看見老虎打比方，看見老虎就跑，這是右腦的工作，可是，如果一思考，老虎此時正被關在動物園里的玻璃房，很安全，那還用跑嗎?在這里，左腦發揮作用了，進行了邏輯思考。

03

無論是左腦還是右腦，都有賴于記憶。就像電腦在正常工作之前，需要輸入程序一樣，人的大腦要工作，也需要輸入記憶。大腦都是根據記憶來加工、處理各種情況的，為什么記憶力比較強的人，往往智商也比較高，就是這個道理。

左腦的記憶，是抽象的，右腦的記憶，是形象的。抽象記憶必須建立在形象記憶的基礎之上，是對形象記憶的歸納、總結，形成結論。人類害怕老虎，是因為看見過很多老虎吃人的事情，老虎這種形象就代表了危險，右腦深深的記憶了這種危險，以后一看到老虎，跑了再說，保命要緊。后面才總結，不是什么情況看見老虎都需要跑，比如在動物園就不用，如此，就建立了抽象的思維。

右腦的記憶，效率更高，左腦的記憶，效率更低。右腦通過圖像和感受記憶，直截了當，直接輸入。左腦還需要通過文字和符號，經過一番處理，才能記住一個東西，相當于拐了一個彎。

04

符合道的學習，都是從具象、形象到抽象，而不是相反。

傳統的數學學習方法，都是從阿拉伯數字0-10開始學起，而后再學加減乘除四則運算，后面又學代數、微積分、幾何、數列、概率、統計等?？梢哉f，都是在抽象思維上由淺入深。我們拿著這種方式學來的數學，再去解決現實的問題，卻往往束手無策，這就是所謂的高分低能現象。

這種現象，在英語的學習中也經常出現。我們學英語，往往從26個英文字母開始，再記單詞、拼讀、語法等，最后才去使用。這樣學習，往往導致啞巴英語。這也是因為一開始就搞抽象的學習，違反了學習之道。

數學本來是一種生活學科，具有天然的具象性，學起來應該會很簡單才是。只是因為我們入手處錯了，從抽象入手，才造成如此晦澀難懂。

05

所謂的具象，就是具體的東西;所謂的形象，就是用圖形描繪具體的東西;所謂的抽象，就是用符合或者文字描寫具體的東西。從思維的角度來說，抽象是最高級的思維;從效率上來說，形象是最有效的描述;從學習的角度來說，具象是最有效的學習方式。

舉個簡單的例子，如果我們要給別人描述一個梨。拿出一個梨，放在他面前，當然是最形象的，但是，不如畫一個梨告訴他來得有效率。但是，如果要搞清楚梨是怎么回事，拿一個梨來解剖一下、品嘗一下，這是最有效的學習方式。如果需要進一步的對這個梨為什么會這么甜進行一番探究，那就需要用到抽象的思維了。

學習數學，也需要從具象到形象再到抽象。我們可以從一些具體的東西入手，比如就通過梨入手，在這個基礎上進行加減乘除的訓練，再逐步過渡到圖形上的運算，最后再用抽象的數字來運算。

這樣做的好處有三個：第一，孩子會對數學產生興趣，因為這是具象化的生活問題;第二，學習的效率更高，具象和形象的處理，都由右腦負責，右腦是出名的快，長此以往，孩子的運算能力會很強;第三，基礎扎實。雖然看起來具象化的學習相比抽象化的學習剛開始會顯得慢一點，但這是數學的基礎，基礎打牢了，抽象的學習就不會沒有根。

06

西方的數學學習，大概都遵循了從具象到形象再到抽象的規律，所以，雖然他們的孩子在小學、初中階段的抽象化數學程度比較低，但勝在基礎扎實。在高中、大學，這些孩子的數學潛力逐漸的發揮出來，后來居上，往往可以趕超中國的學生。若再考慮以后，中國的學生就更不是他們的對手了。

學好數學的方法有哪些

學習數學最重要的是方法，如果把學習比作一場戰爭，那么，學習方法就如同手中作戰的武器，如果沒有正確的學習方法，最后的結果就只能是不戰而敗。當然，沒有天生就不會學習的人，也沒有天生的差生，只有不會學習的人，和沒有掌握學習方法的人。

想要學好數學，首先就要把絆腳石變為墊腳石，俗話說，勤能補拙，所以，在學習數學的時候，就要突出一個勤字，克服懶惰，只有這樣才能打好數學基礎，才能取得好成績。

其次，想要學好數學就要動腦加動手，動腦就是學會觀察分析問題，學會思考，不要拿到數學題就做，要找到題目間的聯系，并解決問題。動手就是多實踐，多做題。這樣才能最大的發揮大腦的效率。

最后，想要學好數學，就要重視教科書，這是教學和考試的主要依據;同樣還要記好筆記，最好還要有一個錯題。

數學怎么才能得高分

數學想要得高分，首先要掌握好基礎知識，還要有拓展的意識，這一點在數學的學習中是一直存在的。學生需要認真研讀教材，最好可以把大綱中規定的考試知識點都深入的理解，并融會貫通，這樣才能為學好數學打好基礎。

大家可以結合輔導書和大綱，先吃透基本概念，方法和定理，才能掌握好數學基礎，才能找到解題的突破口和切入點。數學考試的所有任務就是解題，而基本概念，公式，結論等只有在反復練習匯總才能真正的理解和鞏固。

數學考試中經常有一些能夠應用到多個知識點的綜合型試題和應用型試題。這類試題一般會比較靈活，難度相對較大。在首輪復習期間，雖然它們不是重點，但是也應該有目的的進行訓練，并積累解題經驗，這樣有利于對所學知識的吸收和消化。所以，往年的真題一定要反復做，當然時間需要掌握好。