圓的方程練習題及答案
圓的方程練習題
1.若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x-3y=0和x軸都相切，則該圓的標準方程是________.
[解析] 設圓心C(a，b)(a>0，b>0)，由題意得b=1.
又圓心C到直線4x-3y=0的距離d==1，
解得a=2或a=-(舍).
所以該圓的標準方程為(x-2)2+(y-1)2=1.
[答案] (x-2)2+(y-1)2=1
2.(2014·南京質檢)已知點P(2,1)在圓C：x2+y2+ax-2y+b=0上，點P關于直線x+y-1=0的對稱點也在圓C上，則圓C的圓心坐標為________.
[解析] 因為點P關于直線x+y-1=0的對稱點也在圓上，
該直線過圓心，即圓心滿足方程x+y-1=0，
因此-+1-1=0，解得a=0，所以圓心坐標為(0,1).
[答案] (0,1)
3.已知圓心在直線y=-4x上，且圓與直線l：x+y-1=0相切于點P(3，-2)，則該圓的方程是________.
[解析] 過切點且與x+y-1=0垂直的直線為y+2=x-3，與y=-4x聯立可求得圓心為(1，-4).
半徑r=2，所求圓的方程為(x-1)2+(y+4)2=8.
[答案] (x-1)2+(y+4)2=8
4.(2014·江蘇常州模擬)已知實數x，y滿足x2+y2-4x+6y+12=0，則|2x-y|的最小值為________.
[解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令x=2+cos α，
y=-3+sin α，則|2x-y|=|4+2cos α+3-sin α|
=|7-sin (α-φ)|≥7-(tan φ=2).
[答案] 7-
5.已知圓x2+y2+4x-8y+1=0關于直線2ax-by+8=0(a>0，b>0)對稱，則+的最小值是________.
[解析] 由圓的對稱性可得，直線2ax-by+8=0必過圓心(-2,4)，所以a+b=2.所以+=+=++5≥2+5=9，由=，則a2=4b2，又由a+b=2，故當且僅當a=，b=時取等號.
[答案] 9
6.(2014·南京市、鹽城市高三模擬)在平面直角坐標系xOy中，若圓x2+(y-1)2=4上存在A，B兩點關于點P(1，2)成中心對稱，則直線AB的方程為________.
[解析] 由題意得圓心與P點連線垂直于AB，所以kOP==1，kAB=-1，
而直線AB過P點，所以直線AB的方程為y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.
[答案] x+y-3=0
7.(2014·泰州質檢)若a，且方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓，則a=________.
[解析] 要使方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓，則a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0，解得-20)關于直線x+y+2=0對稱.
(1)求圓C的方程;
(2)設Q為圓C上的一個動點，求·的最小值.
[解] (1)設圓心C(a，b)，
由題意得解得
則圓C的方程為x2+y2=r2，
將點P的坐標代入得r2=2，
故圓C的方程為x2+y2=2.
(2)設Q(x，y)，則x2+y2=2，
·=(x-1，y-1)·(x+2，y+2)
=x2+y2+x+y-4=x+y-2.
令x=cos θ，y=sin θ，
·=x+y-2=(sin θ+cos θ)-2
=2sin-2，
所以·的最小值為-4.
10.已知圓的圓心為坐標原點，且經過點(-1，).
(1)求圓的方程;
(2)若直線l1：x-y+b=0與此圓有且只有一個公共點，求b的值;
(3)求直線l2：x-y+2=0被此圓截得的弦長.
[解] (1)已知圓心為(0,0)，半徑r==2，所以圓的方程為x2+y2=4.
(2)由已知得l1與圓相切，則圓心(0,0)到l1的距離等于半徑2，即=2，解得b=±4.
(3)l2與圓x2+y2=4相交，圓心(0,0)到l2的距離d==，所截弦長l=2=2=2.
曲線與方程練習題
1.(2014·徐州調研)若直線y=kx-2與拋物線y2=8x交于A，B兩個不同的點，且AB的中點的橫坐標為2，則k=________.
[解析] 由消y得k2x2-4(k+2)x+4=0，由題意得Δ=[-4(k+2)]2-4k2×4=64(1+k)>0解得k>-1，且x1+x2==4解得k=-1或k=2，故k=2.
[答案] 2
2.點P是圓(x-4)2+(y-1)2=4上的動點，O是坐標原點，則線段OP的中點Q的軌跡方程是________.
[解析] 設P(x0，y0)，Q(x，y)，則x=，y=，x0=2x，y0=2y，(x0，y0)是圓上的動點，
(x0-4)2+(y0-1)2=4.(2x-4)2+(2y-1)2=4.即(x-2)2+2=1.
[答案] (x-2)2+2=1
3.(2014·宿遷質檢)設拋物線的頂點在原點，其焦點F在x軸上，拋物線上的點P(2，k)與點F的距離為3，則拋物線方程為________.
[解析] xP=2>0，設拋物線方程為y2=2px，則|PF|=2+=3，=1，p=2.
[答案] y2=4x
4.動點P到兩坐標軸的距離之和等于2，則點P的軌跡所圍成的圖形面積是________.
[解析] 設P(x，y)，則|x|+|y|=2.它的圖形是一個以2為邊長的正方形，故S=(2)2=8.
[答案] 8
5.已知動圓過定點A(4,0)，且在y軸上截得弦MN的長為8.則求動圓圓心的軌跡C的方程為________.
[解析] 如圖，設動圓圓心為O1(x，y)，由題意，|O1A|=|O1M|，
當O1不在y軸上時，過O1作O1HMN交MN于H，則H是MN的中點.
|O1M|=，
又|O1A|=，
= ，
化簡得y2=8x(x≠0).
當O1在y軸上時，O1與O重合，點O1的坐標(0,0)
也滿足方程y2=8x，
動圓圓心的軌跡C的方程為y2=8x.
[答案] y2=8x
圖883
6.(2014·鹽城調研)如圖883所示，已知C為圓(x+)2+y2=4的圓心，點A(，0)，P是圓上的動點，點Q在直線CP上，且·=0，=2.當點P在圓上運動時，則點Q的軌跡方程為________.
[解析] 圓(x+)2+y2=4的圓心為C(-，0)，半徑r=2，·=0，=2，MQ⊥AP，點M是線段AP的中點，即MQ是AP的中垂線，連接AQ，則|AQ|=|QP|，
||QC|-|QA||=||QC|-|QP||=|CP|=r=2，
又|AC|=2>2，根據雙曲線的定義，點Q的軌跡是以C(-，0)，A(，0)為焦點，實軸長為2的雙曲線，由c=，a=1，得b2=1，因此點Q的軌跡方程為x2-y2=1.
[答案] x2-y2=1
7.已知拋物線C：x2=4y的焦點為F，經過點F的直線l交拋物線于A、B兩點，過A、B兩點分別作拋物線的切線，設兩切線的交點為M.則點M的軌跡方程為________.
[解析] 設M(x，y)，A，B，顯然x1≠x2，由x2=4y，得y=x2，y′=x，于是過A、B兩點的切線方程分別為y-=(x-x1)，即y=x- ，y-=(x-x2)，即y=x- ，由解得 ，設直線l的方程為y=kx+1，由，得x2-4kx-4=0，x1+x2=4k，x1x2=-4 ，代入得，即M(2k，-1)，故點M的軌跡方程是y=-1.
[答案] y=-1
8.(2014·江蘇泰州中學期末)若橢圓C1：+=1(a1>b1>0)和C2：+=1(a2>b2>0)是焦點相同且a1>a2的兩個橢圓，有以下幾個命題：C1，C2一定沒有公共點;>;a-a=b-b;a1-a2a2，所以b1>b2，C1，C2一定沒有公共點;因為a1>a2，b1>b2，所以>不一定成立;由a-b=a-b得a-a=b-b;由a-a=b-b得(a1-a2)(a1+a2)=(b1-b2)(b1+b2)，因為a1+a2>b1+b2，所以a1-a2b>0)所圍成的封閉圖形的面積為4，曲線C1上的點到原點O的最短距離為.以曲線C1與坐標軸的交點為頂點的橢圓記為C2.
(1)求橢圓C2的標準方程;
(2)設AB是過橢圓C2中心O的任意弦，l是線段AB的垂直平分線M是l上的點(與O不重合).
若|MO|=2|OA|，當點A在橢圓C2上運動時，求點M的軌跡方程;
若M是l與橢圓C2的交點，求AMB面積的最小值.
[解] (1)由題意得又a>b>0，解得a2=8，b2=1，因此所求橢圓的標準方程為+y2=1.
(2)設M(x，y)，A(m，n)，則由題設知||=2||，·=0，
即解得
因為點A(m，n)在橢圓C2上，所以+n2=1.
即+x2=1，亦即+=1，
所以點M的軌跡方程為+=1.
設M(x，y)，則A(λy，-λx)(λR，λ≠0)，
因為點A在橢圓C2上，所以λ2(y2+8x2)=8，
即y2+8x2=，()
又x2+8y2=8，()
(ⅰ)+()得x2+y2=，
所以SAMB=OM·OA=|λ|(x2+y2)=·≥.
當且僅當λ=±1時，(SAMB)min=.
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