圓的方程練習(xí)題

　　1.若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x-3y=0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________.

　　[解析]　設(shè)圓心C(a，b)(a>0，b>0)，由題意得b=1.

　　又圓心C到直線4x-3y=0的距離d==1，

　　解得a=2或a=-(舍).

　　所以該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-1)2=1.

　　[答案]　(x-2)2+(y-1)2=1

　　2.(2014·南京質(zhì)檢)已知點(diǎn)P(2,1)在圓C：x2+y2+ax-2y+b=0上，點(diǎn)P關(guān)于直線x+y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)也在圓C上，則圓C的圓心坐標(biāo)為________.

　　[解析]　因?yàn)辄c(diǎn)P關(guān)于直線x+y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)也在圓上，

　　該直線過圓心，即圓心滿足方程x+y-1=0，

　　因此-+1-1=0，解得a=0，所以圓心坐標(biāo)為(0,1).

　　[答案]　(0,1)

　　3.已知圓心在直線y=-4x上，且圓與直線l：x+y-1=0相切于點(diǎn)P(3，-2)，則該圓的方程是________.

　　[解析]　過切點(diǎn)且與x+y-1=0垂直的直線為y+2=x-3，與y=-4x聯(lián)立可求得圓心為(1，-4).

　　半徑r=2，所求圓的方程為(x-1)2+(y+4)2=8.

　　[答案]　(x-1)2+(y+4)2=8

　　4.(2014·江蘇常州模擬)已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2-4x+6y+12=0，則|2x-y|的最小值為________.

　　[解析]　x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令x=2+cos α，

　　y=-3+sin α，則|2x-y|=|4+2cos α+3-sin α|

　　=|7-sin (α-φ)|≥7-(tan φ=2).

　　[答案]　7-

　　5.已知圓x2+y2+4x-8y+1=0關(guān)于直線2ax-by+8=0(a>0，b>0)對(duì)稱，則+的最小值是________.

　　[解析]　由圓的對(duì)稱性可得，直線2ax-by+8=0必過圓心(-2,4)，所以a+b=2.所以+=+=++5≥2+5=9，由=，則a2=4b2，又由a+b=2，故當(dāng)且僅當(dāng)a=，b=時(shí)取等號(hào).

　　[答案]　9

　　6.(2014·南京市、鹽城市高三模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若圓x2+(y-1)2=4上存在A，B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P(1，2)成中心對(duì)稱，則直線AB的方程為________.

　　[解析]　由題意得圓心與P點(diǎn)連線垂直于AB，所以kOP==1，kAB=-1，

　　而直線AB過P點(diǎn)，所以直線AB的方程為y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.

　　[答案]　x+y-3=0

　　7.(2014·泰州質(zhì)檢)若a，且方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓，則a=________.

　　[解析]　要使方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓，則a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0，解得-20)關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱.

　　(1)求圓C的方程;

　　(2)設(shè)Q為圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求·的最小值.

　　[解]　(1)設(shè)圓心C(a，b)，

　　由題意得解得

　　則圓C的方程為x2+y2=r2，

　　將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得r2=2，

　　故圓C的方程為x2+y2=2.

　　(2)設(shè)Q(x，y)，則x2+y2=2，

　　·=(x-1，y-1)·(x+2，y+2)

　　=x2+y2+x+y-4=x+y-2.

　　令x=cos θ，y=sin θ，

　　·=x+y-2=(sin θ+cos θ)-2

　　=2sin-2，

　　所以·的最小值為-4.

　　10.已知圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)(-1，).

　　(1)求圓的方程;

　　(2)若直線l1：x-y+b=0與此圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求b的值;

　　(3)求直線l2：x-y+2=0被此圓截得的弦長.

　　[解]　(1)已知圓心為(0,0)，半徑r==2，所以圓的方程為x2+y2=4.

　　(2)由已知得l1與圓相切，則圓心(0,0)到l1的距離等于半徑2，即=2，解得b=±4.

　　(3)l2與圓x2+y2=4相交，圓心(0,0)到l2的距離d==，所截弦長l=2=2=2.

　　曲線與方程練習(xí)題

　　1.(2014·徐州調(diào)研)若直線y=kx-2與拋物線y2=8x交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則k=________.

　　[解析]　由消y得k2x2-4(k+2)x+4=0，由題意得Δ=[-4(k+2)]2-4k2×4=64(1+k)>0解得k>-1，且x1+x2==4解得k=-1或k=2，故k=2.

　　[答案]　2

　　2.點(diǎn)P是圓(x-4)2+(y-1)2=4上的動(dòng)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則線段OP的中點(diǎn)Q的軌跡方程是________.

　　[解析]　設(shè)P(x0，y0)，Q(x，y)，則x=，y=，x0=2x，y0=2y，(x0，y0)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，

　　(x0-4)2+(y0-1)2=4.(2x-4)2+(2y-1)2=4.即(x-2)2+2=1.

　　[答案]　(x-2)2+2=1

　　3.(2014·宿遷質(zhì)檢)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F在x軸上，拋物線上的點(diǎn)P(2，k)與點(diǎn)F的距離為3，則拋物線方程為________.

　　[解析]　xP=2>0，設(shè)拋物線方程為y2=2px，則|PF|=2+=3，=1，p=2.

　　[答案]　y2=4x

　　4.動(dòng)點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離之和等于2，則點(diǎn)P的軌跡所圍成的圖形面積是________.

　　[解析]　設(shè)P(x，y)，則|x|+|y|=2.它的圖形是一個(gè)以2為邊長的正方形，故S=(2)2=8.

　　[答案]　8

　　5.已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A(4,0)，且在y軸上截得弦MN的長為8.則求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為________.

　　[解析]　如圖，設(shè)動(dòng)圓圓心為O1(x，y)，由題意，|O1A|=|O1M|，

　　當(dāng)O1不在y軸上時(shí)，過O1作O1HMN交MN于H，則H是MN的中點(diǎn).

　　|O1M|=，

　　又|O1A|=，

　　= ，

　　化簡得y2=8x(x≠0).

　　當(dāng)O1在y軸上時(shí)，O1與O重合，點(diǎn)O1的坐標(biāo)(0,0)

　　也滿足方程y2=8x，

　　動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為y2=8x.

　　[答案]　y2=8x

　　圖8­8­3

　　6.(2014·鹽城調(diào)研)如圖8­8­3所示，已知C為圓(x+)2+y2=4的圓心，點(diǎn)A(，0)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線CP上，且·=0，=2.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則點(diǎn)Q的軌跡方程為________.

　　[解析]　圓(x+)2+y2=4的圓心為C(-，0)，半徑r=2，·=0，=2，MQ⊥AP，點(diǎn)M是線段AP的中點(diǎn)，即MQ是AP的中垂線，連接AQ，則|AQ|=|QP|，

　　||QC|-|QA||=||QC|-|QP||=|CP|=r=2，

　　又|AC|=2>2，根據(jù)雙曲線的定義，點(diǎn)Q的軌跡是以C(-，0)，A(，0)為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線，由c=，a=1，得b2=1，因此點(diǎn)Q的軌跡方程為x2-y2=1.

　　[答案]　x2-y2=1

　　7.已知拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)兩切線的交點(diǎn)為M.則點(diǎn)M的軌跡方程為________.

　　[解析]　設(shè)M(x，y)，A，B，顯然x1≠x2，由x2=4y，得y=x2，y′=x，于是過A、B兩點(diǎn)的切線方程分別為y-=(x-x1)，即y=x-　，y-=(x-x2)，即y=x-　，由解得　，設(shè)直線l的方程為y=kx+1，由，得x2-4kx-4=0，x1+x2=4k，x1x2=-4　，代入得，即M(2k，-1)，故點(diǎn)M的軌跡方程是y=-1.

　　[答案]　y=-1

　　8.(2014·江蘇泰州中學(xué)期末)若橢圓C1：+=1(a1>b1>0)和C2：+=1(a2>b2>0)是焦點(diǎn)相同且a1>a2的兩個(gè)橢圓，有以下幾個(gè)命題：C1，C2一定沒有公共點(diǎn);>;a-a=b-b;a1-a2a2，所以b1>b2，C1，C2一定沒有公共點(diǎn);因?yàn)閍1>a2，b1>b2，所以>不一定成立;由a-b=a-b得a-a=b-b;由a-a=b-b得(a1-a2)(a1+a2)=(b1-b2)(b1+b2)，因?yàn)閍1+a2>b1+b2，所以a1-a2b>0)所圍成的封閉圖形的面積為4，曲線C1上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的最短距離為.以曲線C1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓記為C2.

　　(1)求橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程;

　　(2)設(shè)AB是過橢圓C2中心O的任意弦，l是線段AB的垂直平分線M是l上的點(diǎn)(與O不重合).

　　若|MO|=2|OA|，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓C2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程;

　　若M是l與橢圓C2的交點(diǎn)，求AMB面積的最小值.

　　[解]　(1)由題意得又a>b>0，解得a2=8，b2=1，因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.

　　(2)設(shè)M(x，y)，A(m，n)，則由題設(shè)知||=2||，·=0，

　　即解得

　　因?yàn)辄c(diǎn)A(m，n)在橢圓C2上，所以+n2=1.

　　即+x2=1，亦即+=1，

　　所以點(diǎn)M的軌跡方程為+=1.

　　設(shè)M(x，y)，則A(λy，-λx)(λR，λ≠0)，

　　因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓C2上，所以λ2(y2+8x2)=8，

　　即y2+8x2=，()

　　又x2+8y2=8，()

　　(ⅰ)+()得x2+y2=，

　　所以SAMB=OM·OA=|λ|(x2+y2)=·≥.

　　當(dāng)且僅當(dāng)λ=±1時(shí)，(SAMB)min=.

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