q≠1時 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)

q=1時Sn=na1

(a1為首項,an為第n項,d為公差,q 為等比)

這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比數(shù)列a1≠0。注：q=1時，{an}為常數(shù)列。利用等比數(shù)列求和公式可以快速的計算出該數(shù)列的和。

等比數(shù)列的概念

1、等比數(shù)列的定義：

一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比都等于一個常數(shù)(不為0)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用q來表示。

定義可以用公式表達為：a(n+1)/an=q(式中n為正整數(shù)，q為常數(shù))。特別注意的是，q是一個與項數(shù)n無關的常數(shù)

2、等比中項：

三個數(shù) a、G、b依次組成等比數(shù)列，則G叫做的等比中項，且G2=a+b(等比中項的平方等于前項與后項之積)。

等差數(shù)列求和公式

1、等差數(shù)列基本公式：末項=首項+(項數(shù)-1)__公差項數(shù)=(末項-首項)÷公差+1首項=末項-(項數(shù)-1)__公差和=(首項+末項)__項數(shù)÷2末項：最后一位數(shù)首項：第一位數(shù)項數(shù)：一共有幾位數(shù)和：求一共數(shù)的總和。

2、Sn=na(n+1)/2n為奇數(shù)

sn=n/2(An/2+An/2+1)n為偶數(shù)

3、等差數(shù)列如果有奇數(shù)項，那么和就等于中間一項乘以項數(shù)，如果有偶數(shù)項，和就等于中間兩項和乘以項數(shù)的一半，這就是中項求和。

4、公差為d的等差數(shù)列{an｝，當n為奇數(shù)是時，等差中項為一項，即等差中項等于首尾兩項和的二分之一，也等于總和Sn除以項數(shù)n。將求和公式代入即可。當n為偶數(shù)時，等差中項為中間兩項，這兩項的和等于首尾兩項和，也等于二倍的總和除以項數(shù)n。

一.用倒序相加法求數(shù)列的前n項和

如果一個數(shù)列{an}，與首末項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就得到一個常數(shù)列的`和，這一求和方法稱為倒序相加法。我們在學知識時，不但要知其果，更要索其因，知識的得出過程是知識的源頭，也是研究同一類知識的工具，例如：等差數(shù)列前n項和公式的推導，用的就是“倒序相加法”。

例題1：設等差數(shù)列{an}，公差為d，求證：{an}的前n項和Sn=n(a1+an)/2

解：Sn=a1+a2+a3+...+an①

倒序得：Sn=an+an-1+an-2+…+a1 ②

①+②得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)

又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1

∴2Sn=n(a2+an) Sn=n(a1+an)/2

二.用公式法求數(shù)列的前n項和

對等差數(shù)列、等比數(shù)列，求前n項和Sn可直接用等差、等比數(shù)列的前n項和公式進行求解。運用公式求解的注意事項：首先要注意公式的應用范圍，確定公式適用于這個數(shù)列之后，再計算。

三.用裂項相消法求數(shù)列的前n項和

裂項相消法是將數(shù)列的一項拆成兩項或多項，使得前后項相抵消，留下有限項，從而求出數(shù)列的前n項和。

四.用錯位相減法求數(shù)列的前n項和

錯位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，應用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式。即若在數(shù)列{an·bn}中，{an}成等差數(shù)列，{bn}成等比數(shù)列，在和式的兩邊同乘以公比，再與原式錯位相減整理后即可以求出前n項和。

五.用迭加法求數(shù)列的前n項和

迭加法主要應用于數(shù)列{an}滿足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差數(shù)列或等比數(shù)列的條件下，可把這個式子變成an+1-an=f(n)，代入各項，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，經(jīng)過整理，可求出an ，從而求出Sn。

六.用分組求和法求數(shù)列的前n項和

分組求和法就是對一類既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列的數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并。

七.用構(gòu)造法求數(shù)列的前n項和

構(gòu)造法就是先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進行分析，找出數(shù)列的通項的特征，構(gòu)造出我們熟知的基本數(shù)列的通項的特征形式，從而求出數(shù)列的前n項和。

數(shù)列求和的七種方法

1、倒序相加法

倒序相加法如果一個數(shù)列{an}滿足與首末兩項等“距離”的兩項的和相等(或等于同一常數(shù))，那么求這個數(shù)列的前n項和，可用倒序相加法。

2、分組求和法

分組求和法一個數(shù)列的通項公式是由幾個等差或等比或可求和的數(shù)列的通項公式組成，求和時可用分組求和法，分別求和而后相加。

3、錯位相減法

錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和公式就是用此法推導的。

4、裂項相消法

裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和。

5、乘公比錯項相減(等差×等比)

這種方法是在推導等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{an×bn}的前n項和，其中{an}，{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列。

6、公式法

對等差數(shù)列、等比數(shù)列，求前n項和Sn可直接用等差、等比數(shù)列的前n項和公式進行求解。運用公式求解的注意事項：首先要注意公式的應用范圍，確定公式適用于這個數(shù)列之后，再計算。

7、迭加法

主要應用于數(shù)列{an}滿足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差數(shù)列或等比數(shù)列的條件下，可把這個式子變成an+1-an=f(n)，代入各項，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，經(jīng)過整理，可求出an，從而求出Sn。