高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)

　　導(dǎo)數(shù)的定義:

　　當(dāng)自變量的增量Δx=x-x0，Δx→0時(shí)函數(shù)增量Δy=f(x)- f(x0)與自變量增量之比的極限存在且有限,就說(shuō)函數(shù)f在x0點(diǎn)可導(dǎo)，稱(chēng)之為f在x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)(或變化率).

　　函數(shù)y=f(x)在x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)f'(x0)的幾何意義：表示函數(shù)曲線在P0[x0，f(x0)] 點(diǎn)的切線斜率(導(dǎo)數(shù)的幾何意義是該函數(shù)曲線在這一點(diǎn)上的切線斜率)。

　　一般地，我們得出用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的增減性(單調(diào)性)的法則：設(shè)y=f(x )在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)。如果在(a，b)內(nèi)，f'(x)>0,則f(x)在這個(gè)區(qū)間是單調(diào)增加的(該點(diǎn)切線斜率增大，函數(shù)曲線變得“陡峭”，呈上升狀)。如果在(a，b)內(nèi)，f'(x)<0,則f(x)在這個(gè)區(qū)間是單調(diào)減小的。所以，當(dāng)f'(x)=0時(shí)，y=f(x )有極大值或極小值，極大值中最大者是最大值，極小值中最小者是最小值

　　求導(dǎo)數(shù)的步驟:

　　求函數(shù)y=f(x)在x0處導(dǎo)數(shù)的步驟：

　　① 求函數(shù)的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)

　　② 求平均變化率

　　③ 取極限，得導(dǎo)數(shù)。

　　導(dǎo)數(shù)公式：

　　① C'=0(C為常數(shù)函數(shù));

　　② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*);熟記1/X的導(dǎo)數(shù)

　　③ (sinx)' = cosx; 　　(cosx)' = - sinx; 　　(tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 　　-(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 　　(secx)'=tanx·secx 　　(cscx)'=-cotx·cscx 　　(arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2 　　(arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2 　　(arctanx)'=1/(1+x^2) 　　(arccotx)'=-1/(1+x^2) 　　(arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2) 　　(arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2)

　　④ (sinhx)'=hcoshx 　　(coshx)'=-hsinhx 　　(tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 　　(coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2 　　(sechx)'=-tanhx·sechx 　　(cschx)'=-cothx·cschx 　　(arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 　　(arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2 　　(artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|<1) 　　(arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|>1) 　　(arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2) 　　(arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2)

　　⑤ (e^x)' = e^x; 　　(a^x)' = a^xlna (ln為自然對(duì)數(shù)) 　　(Inx)' = 1/x(ln為自然對(duì)數(shù)) 　　(logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1) (x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1) 　　(1/x)'=-x^(-2)

　　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用:

　　1.函數(shù)的單調(diào)性

　　(1)利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的增減性 　　利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的增減性，這是導(dǎo)數(shù)幾何意義在研究曲線變化規(guī)律時(shí)的一個(gè)應(yīng)用，它充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想. 　　一般地，在某個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f'(x)>0，那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果f'(x)<0，那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減. 　　如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f'(x)=0，則f(x)是常數(shù)函數(shù). 　　注意：在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，f'(x)>0是f(x)在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是必要條件，如f(x)=x3在R內(nèi)是增函數(shù)，但x=0時(shí)f'(x)=0。也就是說(shuō)，如果已知f(x)為增函數(shù)，解題時(shí)就必須寫(xiě)f'(x)≥0。

　　(2)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟(不要按圖索驥 緣木求魚(yú) 這樣創(chuàng)新何言?1.定義最基礎(chǔ)求法2.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性) 　　①確定f(x)的定義域; 　　②求導(dǎo)數(shù); 　　③由(或)解出相應(yīng)的x的范圍.當(dāng)f'(x)>0時(shí)，f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù);當(dāng)f'(x)<0時(shí)，f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù).

　　2.函數(shù)的極值

　　函數(shù)的極值的判定 　　①如果在兩側(cè)符號(hào)相同，則不是f(x)的極值點(diǎn); 　　②如果在附近的左右側(cè)符號(hào)不同，那么，是極大值或極小值.

　　3.求函數(shù)極值的步驟

　　①確定函數(shù)的定義域; 　　②求導(dǎo)數(shù); 　　③在定義域內(nèi)求出所有的駐點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，即求方程及的所有實(shí)根; 　　④檢查在駐點(diǎn)左右的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值;如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值.

　　4.函數(shù)的最值

　　(1)如果f(x)在[a,b]上的最大值(或最小值)是在(a，b)內(nèi)一點(diǎn)處取得的，顯然這個(gè)最大值(或最小值)同時(shí)是個(gè)極大值(或極小值)，它是f(x)在(a，b)內(nèi)所有的極大值(或極小值)中最大的(或最小的)，但是最值也可能在[a，b]的端點(diǎn)a或b處取得，極值與最值是兩個(gè)不同的概念.

　　(2)求f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟 　　①求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值; 　　②將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.

　　5.生活中的優(yōu)化問(wèn)題

　　生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題，這些問(wèn)題稱(chēng)為優(yōu)化問(wèn)題，優(yōu)化問(wèn)題也稱(chēng)為最值問(wèn)題.解決這些問(wèn)題具有非常現(xiàn)實(shí)的意義.這些問(wèn)題通常可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的函數(shù)問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大(小)值問(wèn)題.

　　高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)大題方法

　　*(1)求函數(shù)中某參數(shù)的值或給定參數(shù)的值求導(dǎo)數(shù)或切線

　　一般來(lái)說(shuō)，一到比較溫和的導(dǎo)數(shù)題的會(huì)在第一問(wèn)設(shè)置這樣的問(wèn)題：若f(x)在x=k時(shí)取得極值，試求所給函數(shù)中參數(shù)的值;或者是f(x)在(a,f(a))處的切線與某已知直線垂直，試求所給函數(shù)中參數(shù)的值等等很多條件。雖然會(huì)有很多的花樣，但只要明白他們的本質(zhì)是考察大家求導(dǎo)數(shù)的能力，就會(huì)輕松解決。這一般都是用來(lái)送分的，所以遇到這樣的題，一定要淡定，方法是：

　　先求出所給函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后利用題目所給的已知條件，以上述第一種情形為例：令x=k，f(x)的導(dǎo)數(shù)為零，求解出函數(shù)中所含的參數(shù)的值，然后檢驗(yàn)此時(shí)是否為函數(shù)的極值。

　　注意：

　　①導(dǎo)函數(shù)一定不能求錯(cuò)，否則不只第一問(wèn)會(huì)掛，整個(gè)題目會(huì)一并掛掉。保證自己求導(dǎo)不會(huì)求錯(cuò)的最好方法就是求導(dǎo)時(shí)不要光圖快，一定要小心謹(jǐn)慎，另外就是要將導(dǎo)數(shù)公式記牢，不能有馬虎之處。

　　②遇到例子中的情況，一道要記得檢驗(yàn)，尤其是在求解出來(lái)兩個(gè)解的情況下，更要檢驗(yàn)，否則有可能會(huì)多解，造成扣分，得不償失。所以做兩個(gè)字來(lái)概括這一類(lèi)型題的方法就是：淡定。別人送分，就不要客氣。

　　③求切線時(shí)，要看清所給的點(diǎn)是否在函數(shù)上，若不在，要設(shè)出切點(diǎn)，再進(jìn)行求解。切線要寫(xiě)成一般式。

　　*(2)求函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間以及極值點(diǎn)和最值

　　一般這一類(lèi)題都是在函數(shù)的第二問(wèn)，有時(shí)也有可能在第一問(wèn)，依照題目的難易來(lái)定。這一類(lèi)題問(wèn)法都比較的簡(jiǎn)單，一般是求f(x)的單調(diào)(增減)區(qū)間或函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的極大(小)值或是籠統(tǒng)的函數(shù)極值。一般來(lái)說(shuō)，由于北京市高考不要求二階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，所以這類(lèi)題目也是送分題，所以做這類(lèi)題也要淡定。這類(lèi)問(wèn)題的方法是：

　　首先寫(xiě)定義域，求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，并且進(jìn)行通分，變?yōu)榧俜质叫问健Ｍ乱话阌袃深?lèi)思路，一是走一步看一步型，在行進(jìn)的過(guò)程中，一點(diǎn)點(diǎn)發(fā)現(xiàn)參數(shù)應(yīng)該討論的范圍，一步步解題。這種方法個(gè)人認(rèn)為比較累，而且容易丟掉一些情況沒(méi)有進(jìn)行討論，所以比較推薦第二種方法，就是所謂的一步到位型，先通過(guò)觀察看出我們要討論的參數(shù)的幾個(gè)必要的臨介值，然后以這些值為分界點(diǎn)，分別就這些臨界點(diǎn)所分割開(kāi)的區(qū)間進(jìn)行討論，這樣不僅不會(huì)漏掉一些對(duì)參數(shù)必要的討論，而且還會(huì)是自己做題更有條理，更為高效。

　　極值的求法比較簡(jiǎn)單，就是在上述步驟的基礎(chǔ)上，令導(dǎo)函數(shù)為零，求出符合條件的根，然后進(jìn)行列表，判斷其是否為極值點(diǎn)并且判斷出該極值點(diǎn)左右的單調(diào)性，進(jìn)而確定該點(diǎn)為極大值還是極小值，最后進(jìn)行答題。

　　最值問(wèn)題是建立在極值的基礎(chǔ)之上的，只是有些題要比較極值點(diǎn)與邊界點(diǎn)的大小，不能忘記邊界點(diǎn)。

　　注意：

　　①要注意問(wèn)題，看題干問(wèn)的是單調(diào)區(qū)間還是單調(diào)性，極大值還是極小值，這決定著你最后如何答題。還有最關(guān)鍵的，要注意定義域，有時(shí)題目不會(huì)給出定義域，這時(shí)就需要你自己寫(xiě)出來(lái)。沒(méi)有注意定義域問(wèn)題很?chē)?yán)重。

　　②分類(lèi)要準(zhǔn)，不要慌張。

　　③求極值一定要列表，不能使用二階導(dǎo)數(shù)，否則只有做對(duì)但不得分的下場(chǎng)。

　　*(3)恒成立或在一定條件下成立時(shí)求參數(shù)范圍

　　這類(lèi)問(wèn)題一般都設(shè)置在導(dǎo)數(shù)題的第三問(wèn)，也就是最后一問(wèn)，屬于有一定難度的問(wèn)題。這就需要我們一定的綜合能力。不僅要對(duì)導(dǎo)數(shù)有一定的理解，而且對(duì)于一些不等式、函數(shù)等的知識(shí)要有比較好的掌握。這一類(lèi)題目不是送分題，屬于扣分題，但掌握好了方法，也可以百發(fā)百中。方法如下：

　　做這類(lèi)恒成立類(lèi)型題目或者一定范圍內(nèi)成立的題目的核心的四個(gè)字就是：分離變量。一定要將所求的參數(shù)分離出來(lái)，否則后患無(wú)窮。有些人總是認(rèn)為不分離變量也可以做。一些簡(jiǎn)單的題目誠(chéng)然可以做，但到了真正的難題，分離變量的優(yōu)勢(shì)立刻體現(xiàn)，它可以規(guī)避掉一些極為繁瑣的討論，只用一些簡(jiǎn)單的代數(shù)變形可以搞定，而不分離變量就要面臨著極為麻煩的討論，不僅浪費(fèi)時(shí)間，而且還容易出差錯(cuò)。所以面對(duì)這樣的問(wèn)題，分離變量是首選之法。當(dāng)然有的題確實(shí)不能分離變量，那么這時(shí)就需要我們的觀察能力，如果還是沒(méi)有簡(jiǎn)便方法，那么才會(huì)進(jìn)入到討論階段。

　　分離變量后，就要開(kāi)始求分離后函數(shù)的最大或者最小值，那么這里就要重新構(gòu)建一個(gè)函數(shù)，接下來(lái)的步驟就和(2)中基本相同了。

　　注意：

　　①分離時(shí)要注意不等式的方向，必要的時(shí)候還是要討論。

　　②要看清是求分離后函數(shù)的最大值還是最小值，否則容易搞錯(cuò)。

　　③分類(lèi)要結(jié)合條件看，不能拋開(kāi)大前提自己胡搞一套。

　　最后，這類(lèi)題還需要一定的不等式知識(shí)，比如均值不等式，一些高等數(shù)學(xué)的不等數(shù)等等。這就需要我們有足夠的知識(shí)儲(chǔ)備，這樣做起這樣的題才能更有效率。

　　(4)構(gòu)造新函數(shù)對(duì)新函數(shù)進(jìn)行分析

　　這類(lèi)題目題型看似復(fù)雜，但其實(shí)就是在上述問(wèn)題之上多了一個(gè)步驟，就是將上述的函數(shù)轉(zhuǎn)化為了另一個(gè)函數(shù)，并沒(méi)有本質(zhì)的區(qū)別，所以這里不再贅述。

　　(5)零點(diǎn)問(wèn)題

　　這類(lèi)題目在選擇填空中更容易出現(xiàn)，因?yàn)檫@類(lèi)問(wèn)題雖然不難，但要求學(xué)生對(duì)與極值和最值問(wèn)題有更好的了解，它需要我們結(jié)合零點(diǎn)，極大值極小值等方面綜合考慮，所以更容易出成填空題和選擇題。如果出成大題，大致方法如下：

　　先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后分析求解出函數(shù)的極大值與極小值，然后結(jié)合題目中所給的信息與條件，求出在特定區(qū)間內(nèi)，極大值與極小值所應(yīng)滿足的關(guān)系，然后求解出參數(shù)的范圍。

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