高考數學常考點不等式三種出題模式
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顧道理2
數學備考
一、 簡單的線性規劃問題
簡單的線性規劃問題是高考的熱點之一，是歷年高考的必考內容，主要以填空題的形式考查最優解的最值類問題的求解，高考的命題主要圍繞以下幾個方面：
（1） 常規的線性規劃問題，即求在線性約束條件下的最值問題；
（2） 與函數、平面向量等知識結合的最值類問題；
（3） 求在非線性約束條件下的最值問題；
（4） 考查線性規劃問題在解決實際生活、生產實際中的應用．而其中的第(2)(3)(4)點往往是命題的創新點。
【例1】 設函數f(θ)=?3?sin?θ+??cos?θ，其中，角θ的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸非負半軸重合，終邊經過點?P(x,y)?，且0≤θ≤?π?。
(1) 若點P的坐標為12,32，求f(θ)的值；
(2) 若點P(x,y)為平面區域Ω：x+y≥1,x≤1,y≤1。 上的一個動點，試確定角θ的取值范圍，并求函數f(θ)的最小值和最大值。
分析 第(1)問只需要運用三角函數的定義即可；第(2)問中只要先畫出平面區域Ω，再根據抽畫出的平面區域確定角θ的取值范圍，進而轉化為求f(θ)=a?sin?θ+b?cos?θ型函數的最值。
解 (1) 由點P的坐標和三角函數的定義可得?sin?θ=32，?cos?θ=12。
于是f(θ)=3?sin?θ+??cos?θ=?3×32+12=2。
(2) 作出平面區域Ω (即三角形區域ABC)如圖所示，其中A(1,0)，B(1,1)，?C(0,1)?．于是0≤θ≤?π?2,
又f(θ)=3?sin?θ+?cos?θ=2?sin?θ+?π?6，
且?π?6≤θ+??π?6≤?2?π?3，
故當θ+?π?6=?π?2，即θ=?π?3時，f(θ)取得最大值，且最大值等于2；
當θ+?π?6=?π?6，即θ=0時，f(θ)取得最小值，且最小值等于1。
點評 本題中的最大的亮點在于以解答題的形式將線性規劃中的基礎內容平面區域與三角函數的求值進行了的有機綜合，過去歷年高考對線性規劃考查中并不多見。
二、 基本不等式
基本不等式是不等式的重要內容,也是歷年高考重點考查的知識之一。它的應用幾乎涉及高中數學的所有的章節,高考命題的重點是大小判斷、求最值、求范圍等．大多為填空題，試題的難度不大，近幾年的高考試題中也出現了不少考查基本不等式的實際應用問題。
【例2】 心理學家研究某位學生的學習情況發現：若這位學生剛學完的知識存留量為1，則x 天后的存留量y?1=4x+4；若在t(t>0)天時進行第一次復習，則此時這似乎存留量比未復習情況下增加一倍（復習的時間忽略不計），其后存留量y?2隨時間變化的曲線恰好為直線的一部分，其斜率為a(t+4)?2(?a
（1） 若a=－1,t=5，求“二次復習最佳時機點”；
（2） 若出現了“二次復習最佳時機點”，求a的取值范圍。
分析 關鍵是分析圖像和理解題目所表示的含義，建立函數關系，再用基本不等式求最值。
解 設第一次復習后的存留量與不復習的存留量之差為y，
由題意知，y?2=a(t+4)?2(?x－?t)+8t+4(?t>?4),
所以y=y?2－y?1=a(t+4)?2(x－t)+8t+4－4x+4(t>4)。
當a=－1,t=5時，
y=－1(5+4)?2(x－5)+85+4－4x+4
=－(x+4)81－4x+4+?1≤?－2481+1=59，
當且僅當x=14 時取等號，所以“二次復習最佳時機點”為第14天．
(2) y=a(t+4)?2(x－t)+8t+4－4x+4?=－－a(x+4)(t+4)?2－?4x+4+8t+4－a(t+4)(t+4)?2?≤－2－4a(t+4)?2+?8－at+4，當且僅當－a(x+4)(t+4)?2?=4x+4?即x=2－a(t+4)－4 時取等號，
由題意2－a(t+4)－4>t，所以－4
點評 基本不等式在每年的高考中幾乎是從不缺席的，關鍵是要注意運用基本不等式的條件：一正、二定、三相等。
三、 不等式的求解
【例3】 對于問題：“已知關于x的不等式ax?2+bx+c>0的解集為(－1,2)，解關于x的不等式ax?2－bx+c>0”，給出如下一種解法：
參考上述解法，若關于x的不等式kx+a+x+bx+c<0的解集為－1,－13∪12,1，則關于x的不等式kxax+1+bx+1cx+1<0的解集為? ? 。
分析 觀察發現ax?2+?bx+?c>0將x換成?－x得??a(－x)?2+?b(－x)+c>0，則解集也相應變化，－x∈(－1,2)，則?x∈?(－2,1)，不等式kx+a+x+bx+c<0將x換成1x得不等式kxax+1+bx+1cx+1<0，故1x∈－1,－13∪12,1，分析可得答案。
解 由ax?2+bx+c>0的解集為(－1,2)，得a(－x)?2+b(－x)+c>0的解集為(?－2?,1)，即關于x的不等式ax?2－bx+c>0的解集為(－2,1)。
若關于x的不等式kx+a+x+bx+c<0的解集為－1,?－13?∪12,1
則關于x的不等式kxax+1+bx+1cx+1<0的可看成kx+a+x+bx+c<0中的x用1x代入可得，則有1x∈?－1?,－13∪12,1從而解得x∈(－3,?－1?)∪(1,2),故答案為(－3,－1)∪(1,2)。
點評 本題考查了類比推理，一元二次不等式以及分式不等式的求解，通過已知條件發現規律，屬于探究類創新題。
綜上所述，不等式之所以成為高考中經久不息考試熱點，而且創意不斷常考常新．除了不等式的知識本身在中學數學中具有豐富的內涵和突出的地位外，與它和高等數學、現實生活有著緊密的關系也是重要的原因之一．在高考命題中，追尋不等式與其他重點知識的新穎巧妙的組合以及與高等數學的相互聯系，挖掘不等式在現實生活和科學研究中的廣泛應用，把對數學思想方法和數學應用意識以及在全新的情景中對學生數學素養等的考查賦于不等式的考查之中，往往是高考對不等式考查的一個創新點。
牛刀小試
1。若a>0,b>0，且函數f(x)=4x?3－ax?2－2bx+2在x=1處有極值，則ab的最大值等于．??
2． 關于x的不等式x?2－(a+1)x+a<0的所有整數解之和為27，則實數a的取值范圍是．
【參考答案】
1。f′(x)=12x?2－2ax－2b，∵f(x)在?x=?1處有極值，
∴f′(1)=0，即12－2a－?2b=?0，化簡得?a+?b=6，
∵a>0,b>0，∴ab≤a+b2?2=9，當且僅當?a=??b=?3時，ab有最大值，最大值為9。
2． 由x?2－(a+1)x+a<0得(x－1)(x－a)<0，由題意可知a≤1不可能，否則不能滿足不等式x?2－(a+1)x+a<0的所有整數解之和為27，所以a>1，由(x－1)(x－a)<0解得?1
簡單的線性規劃問題是高考的熱點之一，是歷年高考的必考內容，主要以填空題的形式考查最優解的最值類問題的求解，高考的命題主要圍繞以下幾個方面：
（1） 常規的線性規劃問題，即求在線性約束條件下的最值問題；
（2） 與函數、平面向量等知識結合的最值類問題；
（3） 求在非線性約束條件下的最值問題；
（4） 考查線性規劃問題在解決實際生活、生產實際中的應用．而其中的第(2)(3)(4)點往往是命題的創新點。
【例1】 設函數f(θ)=?3?sin?θ+??cos?θ，其中，角θ的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸非負半軸重合，終邊經過點?P(x,y)?，且0≤θ≤?π?。
(1) 若點P的坐標為12,32，求f(θ)的值；
(2) 若點P(x,y)為平面區域Ω：x+y≥1,x≤1,y≤1。 上的一個動點，試確定角θ的取值范圍，并求函數f(θ)的最小值和最大值。
分析 第(1)問只需要運用三角函數的定義即可；第(2)問中只要先畫出平面區域Ω，再根據抽畫出的平面區域確定角θ的取值范圍，進而轉化為求f(θ)=a?sin?θ+b?cos?θ型函數的最值。
解 (1) 由點P的坐標和三角函數的定義可得?sin?θ=32，?cos?θ=12。
于是f(θ)=3?sin?θ+??cos?θ=?3×32+12=2。
(2) 作出平面區域Ω (即三角形區域ABC)如圖所示，其中A(1,0)，B(1,1)，?C(0,1)?．于是0≤θ≤?π?2,
又f(θ)=3?sin?θ+?cos?θ=2?sin?θ+?π?6，
且?π?6≤θ+??π?6≤?2?π?3，
故當θ+?π?6=?π?2，即θ=?π?3時，f(θ)取得最大值，且最大值等于2；
當θ+?π?6=?π?6，即θ=0時，f(θ)取得最小值，且最小值等于1。
點評 本題中的最大的亮點在于以解答題的形式將線性規劃中的基礎內容平面區域與三角函數的求值進行了的有機綜合，過去歷年高考對線性規劃考查中并不多見。
二、 基本不等式
基本不等式是不等式的重要內容,也是歷年高考重點考查的知識之一。它的應用幾乎涉及高中數學的所有的章節,高考命題的重點是大小判斷、求最值、求范圍等．大多為填空題，試題的難度不大，近幾年的高考試題中也出現了不少考查基本不等式的實際應用問題。
【例2】 心理學家研究某位學生的學習情況發現：若這位學生剛學完的知識存留量為1，則x 天后的存留量y?1=4x+4；若在t(t>0)天時進行第一次復習，則此時這似乎存留量比未復習情況下增加一倍（復習的時間忽略不計），其后存留量y?2隨時間變化的曲線恰好為直線的一部分，其斜率為a(t+4)?2(?a
（1） 若a=－1,t=5，求“二次復習最佳時機點”；
（2） 若出現了“二次復習最佳時機點”，求a的取值范圍。
分析 關鍵是分析圖像和理解題目所表示的含義，建立函數關系，再用基本不等式求最值。
解 設第一次復習后的存留量與不復習的存留量之差為y，
由題意知，y?2=a(t+4)?2(?x－?t)+8t+4(?t>?4),
所以y=y?2－y?1=a(t+4)?2(x－t)+8t+4－4x+4(t>4)。
當a=－1,t=5時，
y=－1(5+4)?2(x－5)+85+4－4x+4
=－(x+4)81－4x+4+?1≤?－2481+1=59，
當且僅當x=14 時取等號，所以“二次復習最佳時機點”為第14天．
(2) y=a(t+4)?2(x－t)+8t+4－4x+4?=－－a(x+4)(t+4)?2－?4x+4+8t+4－a(t+4)(t+4)?2?≤－2－4a(t+4)?2+?8－at+4，當且僅當－a(x+4)(t+4)?2?=4x+4?即x=2－a(t+4)－4 時取等號，
由題意2－a(t+4)－4>t，所以－4
點評 基本不等式在每年的高考中幾乎是從不缺席的，關鍵是要注意運用基本不等式的條件：一正、二定、三相等。
三、 不等式的求解
【例3】 對于問題：“已知關于x的不等式ax?2+bx+c>0的解集為(－1,2)，解關于x的不等式ax?2－bx+c>0”，給出如下一種解法：
參考上述解法，若關于x的不等式kx+a+x+bx+c<0的解集為－1,－13∪12,1，則關于x的不等式kxax+1+bx+1cx+1<0的解集為? ? 。
分析 觀察發現ax?2+?bx+?c>0將x換成?－x得??a(－x)?2+?b(－x)+c>0，則解集也相應變化，－x∈(－1,2)，則?x∈?(－2,1)，不等式kx+a+x+bx+c<0將x換成1x得不等式kxax+1+bx+1cx+1<0，故1x∈－1,－13∪12,1，分析可得答案。
解 由ax?2+bx+c>0的解集為(－1,2)，得a(－x)?2+b(－x)+c>0的解集為(?－2?,1)，即關于x的不等式ax?2－bx+c>0的解集為(－2,1)。
若關于x的不等式kx+a+x+bx+c<0的解集為－1,?－13?∪12,1
則關于x的不等式kxax+1+bx+1cx+1<0的可看成kx+a+x+bx+c<0中的x用1x代入可得，則有1x∈?－1?,－13∪12,1從而解得x∈(－3,?－1?)∪(1,2),故答案為(－3,－1)∪(1,2)。
點評 本題考查了類比推理，一元二次不等式以及分式不等式的求解，通過已知條件發現規律，屬于探究類創新題。
綜上所述，不等式之所以成為高考中經久不息考試熱點，而且創意不斷常考常新．除了不等式的知識本身在中學數學中具有豐富的內涵和突出的地位外，與它和高等數學、現實生活有著緊密的關系也是重要的原因之一．在高考命題中，追尋不等式與其他重點知識的新穎巧妙的組合以及與高等數學的相互聯系，挖掘不等式在現實生活和科學研究中的廣泛應用，把對數學思想方法和數學應用意識以及在全新的情景中對學生數學素養等的考查賦于不等式的考查之中，往往是高考對不等式考查的一個創新點。
牛刀小試
1。若a>0,b>0，且函數f(x)=4x?3－ax?2－2bx+2在x=1處有極值，則ab的最大值等于．??
2． 關于x的不等式x?2－(a+1)x+a<0的所有整數解之和為27，則實數a的取值范圍是．
【參考答案】
1。f′(x)=12x?2－2ax－2b，∵f(x)在?x=?1處有極值，
∴f′(1)=0，即12－2a－?2b=?0，化簡得?a+?b=6，
∵a>0,b>0，∴ab≤a+b2?2=9，當且僅當?a=??b=?3時，ab有最大值，最大值為9。
2． 由x?2－(a+1)x+a<0得(x－1)(x－a)<0，由題意可知a≤1不可能，否則不能滿足不等式x?2－(a+1)x+a<0的所有整數解之和為27，所以a>1，由(x－1)(x－a)<0解得?1