求解無(wú)棱二面角大小的三個(gè)方法
時(shí)間：
未知2
數(shù)學(xué)備考
求解無(wú)棱二面角的大小思維活、方法多，是高考的熱點(diǎn)，同時(shí)也是難點(diǎn)問(wèn)題之一，現(xiàn)從一例高考題出發(fā)來(lái)系統(tǒng)疏理、歸納.
題目 （2011高考全國(guó)卷第16題）已知如右圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，則平面AEF與平面ABC所成二面角的正切值等于____.
對(duì)策一 利用空間向量求解
解法1 （利用空間基向量求解）由題意，=+，=+=++.設(shè)平面AEF的法向量為n=x+y+z，由n?=0，n?=0，得（x+y+z）?（+）=0，（x+y+z）?（++）=0，把相關(guān)量代入化簡(jiǎn)，得x+z=0，x+y+z=0.取z=3，解得x=y=-1，從而n=
--+3，不難求得|n|=.
又平面ABC的法向量為，故n?=（--+3）?=3，所以cos〈，n〉==，從而sin〈，n〉==，tan〈，n〉=.故平面AEF與平面ABC所成二面角的正切值等于.
點(diǎn)評(píng) 面對(duì)豐富的幾何條件，尤其是每個(gè)頂點(diǎn)處的向量都容易表示兩兩夾角及線段的長(zhǎng)度也容易求出，利用空間幾何向量求解是最易操作的.雖然對(duì)于填空或選擇題來(lái)說(shuō)，這樣也許會(huì)費(fèi)時(shí)費(fèi)力、小題大做，可這是一種萬(wàn)全之策.
解法2 （利用空間坐標(biāo)系求解）分別以DA，DC，DD1為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)D-xyz，得A（1，0，0），E1，1，，F(xiàn)0，1，，從而=0，1，，=-1，1，.設(shè)平面AEF的法向量為m=（x，y，z），由m?=0，m?=0，得y+z=0，-x+y+z=0.取z=3，得m=（-1，-1，3），故|m|=.
又平面ABC的法向量為=（0，0，1），所以由cos〈，m〉==，可得sin〈，m〉==，從而tan〈，m〉=.故平面AEF與平面ABC所成二面角的正切值等于.
點(diǎn)評(píng) 用空間直角坐標(biāo)系求解時(shí)，找（作）兩兩垂直的三線建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系是關(guān)鍵.
對(duì)策二 利用公式cosθ=求解，其中S是二面角的一個(gè)半平面中的一個(gè)封閉圖形的面積，S′是S在另一個(gè)半平面上的射影的面積
解法3 由正方體的性質(zhì)，可知△AEF在平面ABCD上的射影為△ABC.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，在Rt△ACF中，AF===；在Rt△ABE中，AE===.取線段CF的中點(diǎn)為點(diǎn)M，則在Rt△EMF中，求得EF=；取線段AF的中點(diǎn)為點(diǎn)N，則在Rt△ANE中，EN===.
由此得S△AEF=AF?EN=××=，S△ABC=AB?BC=，得cosθ==，sinθ==，從而tanθ==.故平面AEF與平面ABC所成二面角的正切值等于.
點(diǎn)評(píng) 利用面積射影法間接求二面角大小，可避免找二面角的棱及作二面角的平面角雙重麻煩，使求解過(guò)程更簡(jiǎn)便.
對(duì)策三 利用兩個(gè)半平面垂線求解
解法4 過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AF垂足為點(diǎn)H，取線段AF的中點(diǎn)為點(diǎn)N，連結(jié)NO，則NO⊥OB，而OB⊥平面ACF，所以NE⊥平面ACF. 從而CH⊥EN.又CH⊥AF，所以CH⊥平面AEF.又CF⊥平面ABCD，從而可得二面角的兩個(gè)半平面的垂線CH，CF的夾角為∠FCH，該角和平面AEF與平面ABC所成二面角的大小相等.
又∠FCH=∠FAC，所以在Rt△FAC中，tan∠FAC==.故平面AEF與平面ABC所成二面角的正切值等于.
點(diǎn)評(píng) 二面角的兩半平面的垂線所成角的大小與二面角的大小相等或互補(bǔ)，這就需要先對(duì)二面角的大小作粗略的判斷：當(dāng)二面角的一個(gè)半平面上的任意一點(diǎn)在另一個(gè)半平面上的射影在二面角的半平面上的，二面角為銳角；當(dāng)射影在棱上時(shí)，二面角為直角；當(dāng)射影在反向延伸面上時(shí)，二面角為鈍角.
對(duì)策四 找（作）二面角的棱，作出平面角求解
解法5 （利用相交直線找棱）分別延長(zhǎng)線段CB，F(xiàn)E交于點(diǎn)P，并連結(jié)AP，則AP為平面AEF與平面ABC的交線.因?yàn)锽1E=2EB，CF=2FC1，所以BECF，從而CB=BP，DBAP.又DB⊥AC，所以AP⊥AC.又CC1⊥平面ABC，所以AC1⊥AP，從而∠FAC為平面AEF與平面ABC所成二面角的平面角.
在Rt△FAC中，AC=，CF=，則tan∠FAC==.
點(diǎn)評(píng) 若二面角的兩半平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，則這兩條交線的交點(diǎn)在二面角的棱上.
解法6 （利用平行直線找棱）記AC∩BD=O，取AF的中點(diǎn)為點(diǎn)N，連結(jié)NO，則NOCF，BECF，所以NOBE，所以EN∥BD.又EN?奐平面AEF，設(shè)平面AEF∩平面ABC=l，過(guò)點(diǎn)A作AP∥EN，則l∥BD，P∈l.以下同解法5.
點(diǎn)評(píng) 當(dāng)二面角的兩半平面上有兩條互相平行的直線時(shí)，由線面平行的性質(zhì)可知，二面角的棱與這組平行線平行.
解法7 （利用平移平面找棱）分別取線段AF，CF的中點(diǎn)為點(diǎn)N，M，連結(jié)NE，EM，NM，則NOCF，BECF，從而可得NOBE，所以EM∥BC，EN∥BD，所以平面ENM∥平面ABC，則平面AEF與平面ABC所成二面角和平面AEF與平面ENM所成二面角大小相等.
由平面ENM∥平面ABC，CC1⊥平面ABC，得CC1⊥平面ENM.又NM⊥EN，NM⊥EN，所以FN⊥EN，從而∠MNF為平面AEF與平面ECM所成二面角的平面角.在Rt△NMF中，NM=，MF=，則tan∠MNF
==.
點(diǎn)評(píng) 如果兩個(gè)二面角的兩半平面分別平行，則這兩個(gè)二面角大小相等或互補(bǔ).
題目 （2011高考全國(guó)卷第16題）已知如右圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，則平面AEF與平面ABC所成二面角的正切值等于____.
對(duì)策一 利用空間向量求解
解法1 （利用空間基向量求解）由題意，=+，=+=++.設(shè)平面AEF的法向量為n=x+y+z，由n?=0，n?=0，得（x+y+z）?（+）=0，（x+y+z）?（++）=0，把相關(guān)量代入化簡(jiǎn)，得x+z=0，x+y+z=0.取z=3，解得x=y=-1，從而n=
--+3，不難求得|n|=.
又平面ABC的法向量為，故n?=（--+3）?=3，所以cos〈，n〉==，從而sin〈，n〉==，tan〈，n〉=.故平面AEF與平面ABC所成二面角的正切值等于.
點(diǎn)評(píng) 面對(duì)豐富的幾何條件，尤其是每個(gè)頂點(diǎn)處的向量都容易表示兩兩夾角及線段的長(zhǎng)度也容易求出，利用空間幾何向量求解是最易操作的.雖然對(duì)于填空或選擇題來(lái)說(shuō)，這樣也許會(huì)費(fèi)時(shí)費(fèi)力、小題大做，可這是一種萬(wàn)全之策.
解法2 （利用空間坐標(biāo)系求解）分別以DA，DC，DD1為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)D-xyz，得A（1，0，0），E1，1，，F(xiàn)0，1，，從而=0，1，，=-1，1，.設(shè)平面AEF的法向量為m=（x，y，z），由m?=0，m?=0，得y+z=0，-x+y+z=0.取z=3，得m=（-1，-1，3），故|m|=.
又平面ABC的法向量為=（0，0，1），所以由cos〈，m〉==，可得sin〈，m〉==，從而tan〈，m〉=.故平面AEF與平面ABC所成二面角的正切值等于.
點(diǎn)評(píng) 用空間直角坐標(biāo)系求解時(shí)，找（作）兩兩垂直的三線建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系是關(guān)鍵.
對(duì)策二 利用公式cosθ=求解，其中S是二面角的一個(gè)半平面中的一個(gè)封閉圖形的面積，S′是S在另一個(gè)半平面上的射影的面積
解法3 由正方體的性質(zhì)，可知△AEF在平面ABCD上的射影為△ABC.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，在Rt△ACF中，AF===；在Rt△ABE中，AE===.取線段CF的中點(diǎn)為點(diǎn)M，則在Rt△EMF中，求得EF=；取線段AF的中點(diǎn)為點(diǎn)N，則在Rt△ANE中，EN===.
由此得S△AEF=AF?EN=××=，S△ABC=AB?BC=，得cosθ==，sinθ==，從而tanθ==.故平面AEF與平面ABC所成二面角的正切值等于.
點(diǎn)評(píng) 利用面積射影法間接求二面角大小，可避免找二面角的棱及作二面角的平面角雙重麻煩，使求解過(guò)程更簡(jiǎn)便.
對(duì)策三 利用兩個(gè)半平面垂線求解
解法4 過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AF垂足為點(diǎn)H，取線段AF的中點(diǎn)為點(diǎn)N，連結(jié)NO，則NO⊥OB，而OB⊥平面ACF，所以NE⊥平面ACF. 從而CH⊥EN.又CH⊥AF，所以CH⊥平面AEF.又CF⊥平面ABCD，從而可得二面角的兩個(gè)半平面的垂線CH，CF的夾角為∠FCH，該角和平面AEF與平面ABC所成二面角的大小相等.
又∠FCH=∠FAC，所以在Rt△FAC中，tan∠FAC==.故平面AEF與平面ABC所成二面角的正切值等于.
點(diǎn)評(píng) 二面角的兩半平面的垂線所成角的大小與二面角的大小相等或互補(bǔ)，這就需要先對(duì)二面角的大小作粗略的判斷：當(dāng)二面角的一個(gè)半平面上的任意一點(diǎn)在另一個(gè)半平面上的射影在二面角的半平面上的，二面角為銳角；當(dāng)射影在棱上時(shí)，二面角為直角；當(dāng)射影在反向延伸面上時(shí)，二面角為鈍角.
對(duì)策四 找（作）二面角的棱，作出平面角求解
解法5 （利用相交直線找棱）分別延長(zhǎng)線段CB，F(xiàn)E交于點(diǎn)P，并連結(jié)AP，則AP為平面AEF與平面ABC的交線.因?yàn)锽1E=2EB，CF=2FC1，所以BECF，從而CB=BP，DBAP.又DB⊥AC，所以AP⊥AC.又CC1⊥平面ABC，所以AC1⊥AP，從而∠FAC為平面AEF與平面ABC所成二面角的平面角.
在Rt△FAC中，AC=，CF=，則tan∠FAC==.
點(diǎn)評(píng) 若二面角的兩半平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，則這兩條交線的交點(diǎn)在二面角的棱上.
解法6 （利用平行直線找棱）記AC∩BD=O，取AF的中點(diǎn)為點(diǎn)N，連結(jié)NO，則NOCF，BECF，所以NOBE，所以EN∥BD.又EN?奐平面AEF，設(shè)平面AEF∩平面ABC=l，過(guò)點(diǎn)A作AP∥EN，則l∥BD，P∈l.以下同解法5.
點(diǎn)評(píng) 當(dāng)二面角的兩半平面上有兩條互相平行的直線時(shí)，由線面平行的性質(zhì)可知，二面角的棱與這組平行線平行.
解法7 （利用平移平面找棱）分別取線段AF，CF的中點(diǎn)為點(diǎn)N，M，連結(jié)NE，EM，NM，則NOCF，BECF，從而可得NOBE，所以EM∥BC，EN∥BD，所以平面ENM∥平面ABC，則平面AEF與平面ABC所成二面角和平面AEF與平面ENM所成二面角大小相等.
由平面ENM∥平面ABC，CC1⊥平面ABC，得CC1⊥平面ENM.又NM⊥EN，NM⊥EN，所以FN⊥EN，從而∠MNF為平面AEF與平面ECM所成二面角的平面角.在Rt△NMF中，NM=，MF=，則tan∠MNF
==.
點(diǎn)評(píng) 如果兩個(gè)二面角的兩半平面分別平行，則這兩個(gè)二面角大小相等或互補(bǔ).