求解無棱二面角大小的三個方法
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數學備考
求解無棱二面角的大小思維活、方法多，是高考的熱點，同時也是難點問題之一，現從一例高考題出發來系統疏理、歸納.
題目 （2011高考全國卷第16題）已知如右圖，點E，F分別在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，則平面AEF與平面ABC所成二面角的正切值等于____.
對策一 利用空間向量求解
解法1 （利用空間基向量求解）由題意，=+，=+=++.設平面AEF的法向量為n=x+y+z，由n?=0，n?=0，得（x+y+z）?（+）=0，（x+y+z）?（++）=0，把相關量代入化簡，得x+z=0，x+y+z=0.取z=3，解得x=y=-1，從而n=
--+3，不難求得|n|=.
又平面ABC的法向量為，故n?=（--+3）?=3，所以cos〈，n〉==，從而sin〈，n〉==，tan〈，n〉=.故平面AEF與平面ABC所成二面角的正切值等于.
點評 面對豐富的幾何條件，尤其是每個頂點處的向量都容易表示兩兩夾角及線段的長度也容易求出，利用空間幾何向量求解是最易操作的.雖然對于填空或選擇題來說，這樣也許會費時費力、小題大做，可這是一種萬全之策.
解法2 （利用空間坐標系求解）分別以DA，DC，DD1為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標D-xyz，得A（1，0，0），E1，1，，F0，1，，從而=0，1，，=-1，1，.設平面AEF的法向量為m=（x，y，z），由m?=0，m?=0，得y+z=0，-x+y+z=0.取z=3，得m=（-1，-1，3），故|m|=.
又平面ABC的法向量為=（0，0，1），所以由cos〈，m〉==，可得sin〈，m〉==，從而tan〈，m〉=.故平面AEF與平面ABC所成二面角的正切值等于.
點評 用空間直角坐標系求解時，找（作）兩兩垂直的三線建立適當的空間直角坐標系是關鍵.
對策二 利用公式cosθ=求解，其中S是二面角的一個半平面中的一個封閉圖形的面積，S′是S在另一個半平面上的射影的面積
解法3 由正方體的性質，可知△AEF在平面ABCD上的射影為△ABC.設正方體的棱長為1，在Rt△ACF中，AF===；在Rt△ABE中，AE===.取線段CF的中點為點M，則在Rt△EMF中，求得EF=；取線段AF的中點為點N，則在Rt△ANE中，EN===.
由此得S△AEF=AF?EN=××=，S△ABC=AB?BC=，得cosθ==，sinθ==，從而tanθ==.故平面AEF與平面ABC所成二面角的正切值等于.
點評 利用面積射影法間接求二面角大小，可避免找二面角的棱及作二面角的平面角雙重麻煩，使求解過程更簡便.
對策三 利用兩個半平面垂線求解
解法4 過點C作CH⊥AF垂足為點H，取線段AF的中點為點N，連結NO，則NO⊥OB，而OB⊥平面ACF，所以NE⊥平面ACF. 從而CH⊥EN.又CH⊥AF，所以CH⊥平面AEF.又CF⊥平面ABCD，從而可得二面角的兩個半平面的垂線CH，CF的夾角為∠FCH，該角和平面AEF與平面ABC所成二面角的大小相等.
又∠FCH=∠FAC，所以在Rt△FAC中，tan∠FAC==.故平面AEF與平面ABC所成二面角的正切值等于.
點評 二面角的兩半平面的垂線所成角的大小與二面角的大小相等或互補，這就需要先對二面角的大小作粗略的判斷：當二面角的一個半平面上的任意一點在另一個半平面上的射影在二面角的半平面上的，二面角為銳角；當射影在棱上時，二面角為直角；當射影在反向延伸面上時，二面角為鈍角.
對策四 找（作）二面角的棱，作出平面角求解
解法5 （利用相交直線找棱）分別延長線段CB，FE交于點P，并連結AP，則AP為平面AEF與平面ABC的交線.因為B1E=2EB，CF=2FC1，所以BECF，從而CB=BP，DBAP.又DB⊥AC，所以AP⊥AC.又CC1⊥平面ABC，所以AC1⊥AP，從而∠FAC為平面AEF與平面ABC所成二面角的平面角.
在Rt△FAC中，AC=，CF=，則tan∠FAC==.
點評 若二面角的兩半平面同時與第三個平面相交，則這兩條交線的交點在二面角的棱上.
解法6 （利用平行直線找棱）記AC∩BD=O，取AF的中點為點N，連結NO，則NOCF，BECF，所以NOBE，所以EN∥BD.又EN?奐平面AEF，設平面AEF∩平面ABC=l，過點A作AP∥EN，則l∥BD，P∈l.以下同解法5.
點評 當二面角的兩半平面上有兩條互相平行的直線時，由線面平行的性質可知，二面角的棱與這組平行線平行.
解法7 （利用平移平面找棱）分別取線段AF，CF的中點為點N，M，連結NE，EM，NM，則NOCF，BECF，從而可得NOBE，所以EM∥BC，EN∥BD，所以平面ENM∥平面ABC，則平面AEF與平面ABC所成二面角和平面AEF與平面ENM所成二面角大小相等.
由平面ENM∥平面ABC，CC1⊥平面ABC，得CC1⊥平面ENM.又NM⊥EN，NM⊥EN，所以FN⊥EN，從而∠MNF為平面AEF與平面ECM所成二面角的平面角.在Rt△NMF中，NM=，MF=，則tan∠MNF
==.
點評 如果兩個二面角的兩半平面分別平行，則這兩個二面角大小相等或互補.
題目 （2011高考全國卷第16題）已知如右圖，點E，F分別在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，則平面AEF與平面ABC所成二面角的正切值等于____.
對策一 利用空間向量求解
解法1 （利用空間基向量求解）由題意，=+，=+=++.設平面AEF的法向量為n=x+y+z，由n?=0，n?=0，得（x+y+z）?（+）=0，（x+y+z）?（++）=0，把相關量代入化簡，得x+z=0，x+y+z=0.取z=3，解得x=y=-1，從而n=
--+3，不難求得|n|=.
又平面ABC的法向量為，故n?=（--+3）?=3，所以cos〈，n〉==，從而sin〈，n〉==，tan〈，n〉=.故平面AEF與平面ABC所成二面角的正切值等于.
點評 面對豐富的幾何條件，尤其是每個頂點處的向量都容易表示兩兩夾角及線段的長度也容易求出，利用空間幾何向量求解是最易操作的.雖然對于填空或選擇題來說，這樣也許會費時費力、小題大做，可這是一種萬全之策.
解法2 （利用空間坐標系求解）分別以DA，DC，DD1為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標D-xyz，得A（1，0，0），E1，1，，F0，1，，從而=0，1，，=-1，1，.設平面AEF的法向量為m=（x，y，z），由m?=0，m?=0，得y+z=0，-x+y+z=0.取z=3，得m=（-1，-1，3），故|m|=.
又平面ABC的法向量為=（0，0，1），所以由cos〈，m〉==，可得sin〈，m〉==，從而tan〈，m〉=.故平面AEF與平面ABC所成二面角的正切值等于.
點評 用空間直角坐標系求解時，找（作）兩兩垂直的三線建立適當的空間直角坐標系是關鍵.
對策二 利用公式cosθ=求解，其中S是二面角的一個半平面中的一個封閉圖形的面積，S′是S在另一個半平面上的射影的面積
解法3 由正方體的性質，可知△AEF在平面ABCD上的射影為△ABC.設正方體的棱長為1，在Rt△ACF中，AF===；在Rt△ABE中，AE===.取線段CF的中點為點M，則在Rt△EMF中，求得EF=；取線段AF的中點為點N，則在Rt△ANE中，EN===.
由此得S△AEF=AF?EN=××=，S△ABC=AB?BC=，得cosθ==，sinθ==，從而tanθ==.故平面AEF與平面ABC所成二面角的正切值等于.
點評 利用面積射影法間接求二面角大小，可避免找二面角的棱及作二面角的平面角雙重麻煩，使求解過程更簡便.
對策三 利用兩個半平面垂線求解
解法4 過點C作CH⊥AF垂足為點H，取線段AF的中點為點N，連結NO，則NO⊥OB，而OB⊥平面ACF，所以NE⊥平面ACF. 從而CH⊥EN.又CH⊥AF，所以CH⊥平面AEF.又CF⊥平面ABCD，從而可得二面角的兩個半平面的垂線CH，CF的夾角為∠FCH，該角和平面AEF與平面ABC所成二面角的大小相等.
又∠FCH=∠FAC，所以在Rt△FAC中，tan∠FAC==.故平面AEF與平面ABC所成二面角的正切值等于.
點評 二面角的兩半平面的垂線所成角的大小與二面角的大小相等或互補，這就需要先對二面角的大小作粗略的判斷：當二面角的一個半平面上的任意一點在另一個半平面上的射影在二面角的半平面上的，二面角為銳角；當射影在棱上時，二面角為直角；當射影在反向延伸面上時，二面角為鈍角.
對策四 找（作）二面角的棱，作出平面角求解
解法5 （利用相交直線找棱）分別延長線段CB，FE交于點P，并連結AP，則AP為平面AEF與平面ABC的交線.因為B1E=2EB，CF=2FC1，所以BECF，從而CB=BP，DBAP.又DB⊥AC，所以AP⊥AC.又CC1⊥平面ABC，所以AC1⊥AP，從而∠FAC為平面AEF與平面ABC所成二面角的平面角.
在Rt△FAC中，AC=，CF=，則tan∠FAC==.
點評 若二面角的兩半平面同時與第三個平面相交，則這兩條交線的交點在二面角的棱上.
解法6 （利用平行直線找棱）記AC∩BD=O，取AF的中點為點N，連結NO，則NOCF，BECF，所以NOBE，所以EN∥BD.又EN?奐平面AEF，設平面AEF∩平面ABC=l，過點A作AP∥EN，則l∥BD，P∈l.以下同解法5.
點評 當二面角的兩半平面上有兩條互相平行的直線時，由線面平行的性質可知，二面角的棱與這組平行線平行.
解法7 （利用平移平面找棱）分別取線段AF，CF的中點為點N，M，連結NE，EM，NM，則NOCF，BECF，從而可得NOBE，所以EM∥BC，EN∥BD，所以平面ENM∥平面ABC，則平面AEF與平面ABC所成二面角和平面AEF與平面ENM所成二面角大小相等.
由平面ENM∥平面ABC，CC1⊥平面ABC，得CC1⊥平面ENM.又NM⊥EN，NM⊥EN，所以FN⊥EN，從而∠MNF為平面AEF與平面ECM所成二面角的平面角.在Rt△NMF中，NM=，MF=，則tan∠MNF
==.
點評 如果兩個二面角的兩半平面分別平行，則這兩個二面角大小相等或互補.