判斷充分與必要條件常用方法
時間：
王躍輝2
數(shù)學(xué)備考
充分條件與必要條件是高中階段非常重要的數(shù)學(xué)概念，它涉及知識范圍廣，綜合性強，能與高中任何知識相結(jié)合，有一定的深度與難度，此類題目能有力地考查學(xué)生的邏輯思維能力.那么我們?nèi)绾伟盐蘸徒鉀Q此類問題呢？
一、 定義法
對于“?圯”，可以簡單的記為箭頭所指為必要，箭尾所指為充分.在解答此類題目時，利用定義直接推導(dǎo)，一定要抓住命題的條件和結(jié)論的四種關(guān)系的定義.
例1 已知p：-2＜m＜0，0＜n＜1；q：關(guān)于x的方程x2+mx+n=0有兩個小于1的正根，試分析p是q的什么條件？
分析 條件p確定了m，n的范圍，結(jié)論q則明確了方程的根的特點，且m，n作為系數(shù)，因此理應(yīng)聯(lián)想到根與系數(shù)的關(guān)系，然后再進一步化簡.
解 設(shè)x1，x2是方程x2+mx+n=0的兩個小于1的正根，即0＜x1＜1，0＜x2＜1，則0＜x1+x2＜2，0＜x1?x2＜1，依韋達定理，則有0＜-m＜2，0＜n＜1，從而q?圯p.
而對于滿足條件p的m=-1，n=，方程x2-x+=0并無實根，所以pq.
綜上，可知p是q的必要但不充分條件.
點評 解決條件判斷問題時，務(wù)必分清誰是條件，誰是結(jié)論，然后既要嘗試由條件能否推出結(jié)論，也要嘗試由結(jié)論能否推出條件，這樣才能明確做出充分性與必要性的判斷.
二、 集合法
如果將命題p，q分別看作兩個集合A與B，用集合意識解釋條件，則有：①若A?哿B，則x∈A是x∈B的充分條件，x∈B是x∈A的必要條件；②若A?芴B，則x∈A是x∈B的充分不必要條件，x∈B是x∈A的必要不充分條件；③若A=B，則x∈A和x∈B互為充要條件；④若A?芫B且A?蕓B，則x∈A和x∈B互為既不充分也不必要條件.
例2 設(shè)x，y∈R，則x2+y2＜2是|x|+|y|≤的條件，是|x|+|y|＜2的條件.
A. 充要條件 B. 既非充分也非必要條件
C. 必要不充分條件?搖D. 充分不必要條件
解 如右圖所示，平面區(qū)域P={（x，y）|x2+y2＜2}表示圓內(nèi)部分（不含邊界）；平面區(qū)域Q={（x，y）||x|+|y|≤}表示小正方形內(nèi)部分（含邊界）；平面區(qū)域M={（x，y）||x|+|y|＜2}表示大正方形內(nèi)部分（不含邊界）.
由于（，0）?埸P，但（，0）∈Q，則P?蕓Q.又P?芫Q，于是x2+y2＜2是|x|+|y|≤的既非充分也非必要條件，故選B.
同理P?芴M，于是x2+y2＜2是|x|+|y|＜2的充分不必要條件，故選D.
點評 由數(shù)想形，以形輔數(shù)，這種解法正是數(shù)形結(jié)合思想在解題中的有力體現(xiàn).數(shù)形結(jié)合不僅能夠拓寬我們的解題思路，而且也能夠提高我們的解題能力.
三、 逆否法
利用互為逆否命題的等價關(guān)系，應(yīng)用“正難則反”的數(shù)學(xué)思想，將判斷“p?圯q”轉(zhuǎn)化為判斷“非q?圯非p”的真假.
例3 （1）判斷p：x≠3且y≠2是q：x+y≠5的什么條件；
（2） 判斷p：x≠3或y≠2是q：x+y≠5的什么條件.
解 （1）原命題等價于判斷非q：x+y=5是非p：x=3或y=2的什么條件.
顯然非p非q，非q非p，故p是q的既不充分也不必要條件.
（2） 原命題等價于判斷非q：x+y=5是非p：x=3且y=2的什么條件.
因為非p?圯非q，但非q非p，故p是q的必要不充分條件.
點評 當(dāng)命題含有否定詞時，可考慮通過逆否命題等價轉(zhuǎn)化判斷.
四、 篩選法
用特殊值、舉反例進行驗證，做出判斷，從而簡化解題過程.這種方法尤其適合于解選擇題.
例4 方程ax2+2x+1=0至少有一個負(fù)實根的充要條件是
A. 0＜a≤1 B. a＜1 C. a≤1 D. 0＜a≤1
解 利用特殊值驗證：當(dāng)a=0時，x=-，排除A，D；當(dāng)a=1時，x=-1，排除B.因此選C.
點評 作為選擇題，利用篩選法避免了復(fù)雜的邏輯推理過程，使解題方法更加優(yōu)化，節(jié)省了時間，提高了解題的速度，因此同學(xué)們應(yīng)該注意解題方法的選擇使用.
五、 傳遞法
充分條件與必要條件具有傳遞性，即由P1?圯P2，P2?圯P3，…，Pn-1?圯Pn，可得P1?圯Pn .同樣，充要條件也有傳遞性.對于比較復(fù)雜的具有一定連鎖關(guān)系的條件，兩個條件間關(guān)系的判斷也可用傳遞法來加以處理.
例5 已知p是r的充分不必要條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，那么p是q的
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
解 由題意可得p?圯r，r?圯s，s?圯q，那么可得p?圯r?圯s?圯q，即p是q的充分不必要條件，故選A.
點評 對于兩個以上的較復(fù)雜的連鎖式條件，利用傳遞性結(jié)合符號“?圯”與“”，畫出它們之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)圖進行判斷，可以直觀快捷地處理問題，使問題得以簡單化.
1. 求三個方程x2+4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+a2=0，x2+2ax-2a=0至少有一個方程有實根的充要條件.
1. 三個方程均無實根的充要條件是
Δ1=16a2-4（-4a+3）＜0，Δ2=（a-1）2-4a2＜0，Δ3=4a2-4（-2a）＜0，解得-＜a＜-1，故至少有一個方程有實根的充要條件是a|a≥-1或a≤-.
一、 定義法
對于“?圯”，可以簡單的記為箭頭所指為必要，箭尾所指為充分.在解答此類題目時，利用定義直接推導(dǎo)，一定要抓住命題的條件和結(jié)論的四種關(guān)系的定義.
例1 已知p：-2＜m＜0，0＜n＜1；q：關(guān)于x的方程x2+mx+n=0有兩個小于1的正根，試分析p是q的什么條件？
分析 條件p確定了m，n的范圍，結(jié)論q則明確了方程的根的特點，且m，n作為系數(shù)，因此理應(yīng)聯(lián)想到根與系數(shù)的關(guān)系，然后再進一步化簡.
解 設(shè)x1，x2是方程x2+mx+n=0的兩個小于1的正根，即0＜x1＜1，0＜x2＜1，則0＜x1+x2＜2，0＜x1?x2＜1，依韋達定理，則有0＜-m＜2，0＜n＜1，從而q?圯p.
而對于滿足條件p的m=-1，n=，方程x2-x+=0并無實根，所以pq.
綜上，可知p是q的必要但不充分條件.
點評 解決條件判斷問題時，務(wù)必分清誰是條件，誰是結(jié)論，然后既要嘗試由條件能否推出結(jié)論，也要嘗試由結(jié)論能否推出條件，這樣才能明確做出充分性與必要性的判斷.
二、 集合法
如果將命題p，q分別看作兩個集合A與B，用集合意識解釋條件，則有：①若A?哿B，則x∈A是x∈B的充分條件，x∈B是x∈A的必要條件；②若A?芴B，則x∈A是x∈B的充分不必要條件，x∈B是x∈A的必要不充分條件；③若A=B，則x∈A和x∈B互為充要條件；④若A?芫B且A?蕓B，則x∈A和x∈B互為既不充分也不必要條件.
例2 設(shè)x，y∈R，則x2+y2＜2是|x|+|y|≤的條件，是|x|+|y|＜2的條件.
A. 充要條件 B. 既非充分也非必要條件
C. 必要不充分條件?搖D. 充分不必要條件
解 如右圖所示，平面區(qū)域P={（x，y）|x2+y2＜2}表示圓內(nèi)部分（不含邊界）；平面區(qū)域Q={（x，y）||x|+|y|≤}表示小正方形內(nèi)部分（含邊界）；平面區(qū)域M={（x，y）||x|+|y|＜2}表示大正方形內(nèi)部分（不含邊界）.
由于（，0）?埸P，但（，0）∈Q，則P?蕓Q.又P?芫Q，于是x2+y2＜2是|x|+|y|≤的既非充分也非必要條件，故選B.
同理P?芴M，于是x2+y2＜2是|x|+|y|＜2的充分不必要條件，故選D.
點評 由數(shù)想形，以形輔數(shù)，這種解法正是數(shù)形結(jié)合思想在解題中的有力體現(xiàn).數(shù)形結(jié)合不僅能夠拓寬我們的解題思路，而且也能夠提高我們的解題能力.
三、 逆否法
利用互為逆否命題的等價關(guān)系，應(yīng)用“正難則反”的數(shù)學(xué)思想，將判斷“p?圯q”轉(zhuǎn)化為判斷“非q?圯非p”的真假.
例3 （1）判斷p：x≠3且y≠2是q：x+y≠5的什么條件；
（2） 判斷p：x≠3或y≠2是q：x+y≠5的什么條件.
解 （1）原命題等價于判斷非q：x+y=5是非p：x=3或y=2的什么條件.
顯然非p非q，非q非p，故p是q的既不充分也不必要條件.
（2） 原命題等價于判斷非q：x+y=5是非p：x=3且y=2的什么條件.
因為非p?圯非q，但非q非p，故p是q的必要不充分條件.
點評 當(dāng)命題含有否定詞時，可考慮通過逆否命題等價轉(zhuǎn)化判斷.
四、 篩選法
用特殊值、舉反例進行驗證，做出判斷，從而簡化解題過程.這種方法尤其適合于解選擇題.
例4 方程ax2+2x+1=0至少有一個負(fù)實根的充要條件是
A. 0＜a≤1 B. a＜1 C. a≤1 D. 0＜a≤1
解 利用特殊值驗證：當(dāng)a=0時，x=-，排除A，D；當(dāng)a=1時，x=-1，排除B.因此選C.
點評 作為選擇題，利用篩選法避免了復(fù)雜的邏輯推理過程，使解題方法更加優(yōu)化，節(jié)省了時間，提高了解題的速度，因此同學(xué)們應(yīng)該注意解題方法的選擇使用.
五、 傳遞法
充分條件與必要條件具有傳遞性，即由P1?圯P2，P2?圯P3，…，Pn-1?圯Pn，可得P1?圯Pn .同樣，充要條件也有傳遞性.對于比較復(fù)雜的具有一定連鎖關(guān)系的條件，兩個條件間關(guān)系的判斷也可用傳遞法來加以處理.
例5 已知p是r的充分不必要條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，那么p是q的
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
解 由題意可得p?圯r，r?圯s，s?圯q，那么可得p?圯r?圯s?圯q，即p是q的充分不必要條件，故選A.
點評 對于兩個以上的較復(fù)雜的連鎖式條件，利用傳遞性結(jié)合符號“?圯”與“”，畫出它們之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)圖進行判斷，可以直觀快捷地處理問題，使問題得以簡單化.
1. 求三個方程x2+4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+a2=0，x2+2ax-2a=0至少有一個方程有實根的充要條件.
1. 三個方程均無實根的充要條件是
Δ1=16a2-4（-4a+3）＜0，Δ2=（a-1）2-4a2＜0，Δ3=4a2-4（-2a）＜0，解得-＜a＜-1，故至少有一個方程有實根的充要條件是a|a≥-1或a≤-.