解析幾何中求參數(shù)取值范圍的方法
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數(shù)學備考
解析幾何中求參數(shù)取值范圍的方法
近幾年來，與解析幾何有關(guān)的參數(shù)取值范圍的問題經(jīng)常出現(xiàn)在高考考試中，這類問題不僅涉及知識面廣，綜合性大，應(yīng)用性強，而且情景新穎，能很好地考查學生的創(chuàng)新能力和潛在的數(shù)學素質(zhì)，是歷年來高考命題的熱點和重點。學生在處理這類問題時，往往抓不住問題關(guān)鍵，無法有效地解答，這類問題求解的關(guān)鍵在于根據(jù)題意，構(gòu)造相關(guān)的不等式，然后求出不等式的解。那么，如何構(gòu)造不等式呢？本文介紹幾種常見的方法：
一、利用曲線方程中變量的范圍構(gòu)造不等式
曲線上的點的坐標往往有一定的變化范圍，如橢圓 x2a2 + y2b2 = 1上的點P（x，y）滿足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用這些范圍來構(gòu)造不等式求解，另外，也常出現(xiàn)題中有多個變量，變量之間有一定的關(guān)系，往往需要將要求的參數(shù)去表示已知的變量或建立起適當?shù)牟坏仁剑賮砬蠼?這是解決變量取值范圍常見的策略和方法。
例1 已知橢圓 x2a2 + y2b2 = 1 （a>b>0）， A，B是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P（x0 ， 0）
求證:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a
分析:先求線段AB的垂直平分線方程，求出x0與A，B橫坐標的關(guān)系，再利用橢圓上的點A，B滿足的范圍求解.
解: 設(shè)A，B坐標分別為（x1，y1） ，（x2，y2），（x1≠x2）代入橢圓方程，作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 x2+x1 y2+y1
又∵線段AB的垂直平分線方程為
y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ）
令y=0得 x0=x1+x22 a2-b2a2
又∵A，B是橢圓x2a2 + y2b2 = 1 上的點
∴-a≤x1≤a， -a≤x2≤a， x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a
∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a
例2 如圖，已知△OFQ的面積為S，且OF FQ=1，若 12 < S <2 ，求向量OF與FQ的夾角θ的取值范圍.
分析:須通過題中條件建立夾角θ與變量S的關(guān)系，利用S的范圍解題。
解: 依題意有
∴tanθ=2S
∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4
又∵0≤θ≤π
∴π4 <θ< p>
例3對于拋物線y2=4x上任一點Q，點P（a，0）都滿足|PQ|≥|a|，則a的取值范圍是
A a<0 B a≤2 C 0≤a≤2 D 0<2< p>
分析:直接設(shè)Q點坐標，利用題中不等式|PQ|≥|a| 求解.
解: 設(shè)Q（ y024 ，y0） 由|PQ| ≥a
得y02+（ y024 -a）2≥a2 即y02（y02+16-8a） ≥0
∵y02≥0 ∴（y02+16-8a） ≥0即a≤2+ y028 恒成立
又∵ y02≥0
而 2+ y028 最小值為2 ∴a≤2 選（ B ）
二、利用判別式構(gòu)造不等式
在解析幾何中，直線與曲線之間的位置關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程的解的問題，因此可利用判別式來構(gòu)造不等式求解。
例4設(shè)拋物線y2 = 8x的準線與x軸交于點Q，若過點Q的直線L與拋物線有公共點，則直線L的斜率取值范圍是
A [-12 ，12 ] B [-2，2] C [-1，1] D [-4，4]
分析:由于直線l與拋物線有公共點，等價于一元二次方程有解，則判別式△≥0
解:依題意知Q坐標為（-2，0） ， 則直線L的方程為y = k（x+2）
由 得 k2x2+（4k2-8）x+4k2 = 0
∵直線L與拋物線有公共點
∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故選 （C）
例5 直線L: y = kx+1與雙曲線C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的兩點A、B，求實數(shù)k的取值范圍。
分析:利用直線方程和雙曲線方程得到x的一元二次方程，由于直線與右支交于不同兩點，則△>0，同時，還需考慮右支上點的橫坐標的取值范圍來建立關(guān)于k的不等式。
解：由 得 （k2-2）x2 +2kx+2 = 0
∵直線與雙曲線的右支交于不同兩點，則 解得 -2<-2< p>
近幾年來，與解析幾何有關(guān)的參數(shù)取值范圍的問題經(jīng)常出現(xiàn)在高考考試中，這類問題不僅涉及知識面廣，綜合性大，應(yīng)用性強，而且情景新穎，能很好地考查學生的創(chuàng)新能力和潛在的數(shù)學素質(zhì)，是歷年來高考命題的熱點和重點。學生在處理這類問題時，往往抓不住問題關(guān)鍵，無法有效地解答，這類問題求解的關(guān)鍵在于根據(jù)題意，構(gòu)造相關(guān)的不等式，然后求出不等式的解。那么，如何構(gòu)造不等式呢？本文介紹幾種常見的方法：
一、利用曲線方程中變量的范圍構(gòu)造不等式
曲線上的點的坐標往往有一定的變化范圍，如橢圓 x2a2 + y2b2 = 1上的點P（x，y）滿足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用這些范圍來構(gòu)造不等式求解，另外，也常出現(xiàn)題中有多個變量，變量之間有一定的關(guān)系，往往需要將要求的參數(shù)去表示已知的變量或建立起適當?shù)牟坏仁剑賮砬蠼?這是解決變量取值范圍常見的策略和方法。
例1 已知橢圓 x2a2 + y2b2 = 1 （a>b>0）， A，B是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P（x0 ， 0）
求證:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a
分析:先求線段AB的垂直平分線方程，求出x0與A，B橫坐標的關(guān)系，再利用橢圓上的點A，B滿足的范圍求解.
解: 設(shè)A，B坐標分別為（x1，y1） ，（x2，y2），（x1≠x2）代入橢圓方程，作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 x2+x1 y2+y1
又∵線段AB的垂直平分線方程為
y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ）
令y=0得 x0=x1+x22 a2-b2a2
又∵A，B是橢圓x2a2 + y2b2 = 1 上的點
∴-a≤x1≤a， -a≤x2≤a， x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a
∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a
例2 如圖，已知△OFQ的面積為S，且OF FQ=1，若 12 < S <2 ，求向量OF與FQ的夾角θ的取值范圍.
分析:須通過題中條件建立夾角θ與變量S的關(guān)系，利用S的范圍解題。
解: 依題意有
∴tanθ=2S
∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4
又∵0≤θ≤π
∴π4 <θ< p>
例3對于拋物線y2=4x上任一點Q，點P（a，0）都滿足|PQ|≥|a|，則a的取值范圍是
A a<0 B a≤2 C 0≤a≤2 D 0<2< p>
分析:直接設(shè)Q點坐標，利用題中不等式|PQ|≥|a| 求解.
解: 設(shè)Q（ y024 ，y0） 由|PQ| ≥a
得y02+（ y024 -a）2≥a2 即y02（y02+16-8a） ≥0
∵y02≥0 ∴（y02+16-8a） ≥0即a≤2+ y028 恒成立
又∵ y02≥0
而 2+ y028 最小值為2 ∴a≤2 選（ B ）
二、利用判別式構(gòu)造不等式
在解析幾何中，直線與曲線之間的位置關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程的解的問題，因此可利用判別式來構(gòu)造不等式求解。
例4設(shè)拋物線y2 = 8x的準線與x軸交于點Q，若過點Q的直線L與拋物線有公共點，則直線L的斜率取值范圍是
A [-12 ，12 ] B [-2，2] C [-1，1] D [-4，4]
分析:由于直線l與拋物線有公共點，等價于一元二次方程有解，則判別式△≥0
解:依題意知Q坐標為（-2，0） ， 則直線L的方程為y = k（x+2）
由 得 k2x2+（4k2-8）x+4k2 = 0
∵直線L與拋物線有公共點
∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故選 （C）
例5 直線L: y = kx+1與雙曲線C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的兩點A、B，求實數(shù)k的取值范圍。
分析:利用直線方程和雙曲線方程得到x的一元二次方程，由于直線與右支交于不同兩點，則△>0，同時，還需考慮右支上點的橫坐標的取值范圍來建立關(guān)于k的不等式。
解：由 得 （k2-2）x2 +2kx+2 = 0
∵直線與雙曲線的右支交于不同兩點，則 解得 -2<-2< p>