圓的周長(zhǎng)算法

圓的周長(zhǎng)=3.14x圓的直徑=2x3.14x圓的半徑，即：C=πd=2πr。

其中，C代表周長(zhǎng)，π代表圓周率，d代表直徑，r代表半徑。

圓的簡(jiǎn)介:

圓是一種幾何圖形。平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。當(dāng)一條線段繞著它的一個(gè)端點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，它的另一個(gè)端點(diǎn)的軌跡叫做圓。

圓的面積和體積計(jì)算公式

1、計(jì)算圓的面積公式是：半徑×半徑×3.14。

2、計(jì)算圓的體積公式是：半徑×半徑×3.14×高。

圓周率π介紹

后來(lái)的數(shù)學(xué)家們就想辦法算出這個(gè)π的具體值，數(shù)學(xué)家劉徽用的是“割圓術(shù)”的方法，也就是用圓的內(nèi)接正多邊形和外切正多邊形的周長(zhǎng)逼近圓周長(zhǎng)，求得圓接近192邊型，求得圓周率大約是3.14。

割圓術(shù)的大致方法在中學(xué)的數(shù)學(xué)教材上就有。然而必須看到，它很大程度上只是計(jì)算圓周率的方法，而圓周長(zhǎng)是C=π__d似乎已經(jīng)是事實(shí)了，這一方法僅僅是定出π的值來(lái)。仔細(xì)想想就知道這樣做有問(wèn)題，因?yàn)樗麄儾](méi)有從邏輯上證明圓的周長(zhǎng)確實(shí)正比于直徑，更進(jìn)一步說(shuō)他們甚至對(duì)周長(zhǎng)的概念也僅是直觀上的、非理性的。

什么是圓周率

割圓術(shù)的大致方法在中學(xué)的數(shù)學(xué)教材上就有。然而必須看到，它很大程度上只是計(jì)算圓周率的方法，而圓周長(zhǎng)是C = π __ d似乎已經(jīng)是事實(shí)了，這一方法僅僅是定出π的值來(lái)。

仔細(xì)想想就知道這樣做有問(wèn)題，因?yàn)樗麄儾](méi)有從邏輯上證明圓的周長(zhǎng)確實(shí)正比于直徑，更進(jìn)一步說(shuō)他們甚至對(duì)周長(zhǎng)的概念也僅是直觀上的、非理性的。

圓的定義及相關(guān)概念

1、圓的一些概念

(1) 圓的定義：在平面中，線段$OA$繞其固定端點(diǎn)$o$旋轉(zhuǎn)一個(gè)圓，由另一端點(diǎn)$a$形成的圖形稱為圓。固定端點(diǎn)$o$稱為圓心，線段$OA$稱為半徑。以點(diǎn)$o$為中心的圓記錄為“$⊙o$”，讀作“圓$o$”。

此外，圓心為$o$、半徑為$R$的圓可以看作是到固定點(diǎn)$o$的距離等于固定長(zhǎng)度$R$的所有點(diǎn)的集合。

(2) 弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段稱為弦。

(3) 直徑：穿過(guò)圓心的線叫做直徑。

(4) 圓弧：圓上任意兩點(diǎn)之間的部分稱為圓弧。以$a$和$B$結(jié)尾的弧標(biāo)記為$/offset\frown AB，閱讀“arc$AB$”或“arc$AB$”。

圓的任何非直徑弦將圓分成兩個(gè)不同長(zhǎng)度的弧。大于半圓的弧稱為上弧，一般用三點(diǎn)表示。小于半圓的弧稱為次弧。

(5) 半圓：圓的任意直徑的兩端將圓分成兩個(gè)弧，每個(gè)弧稱為半圓。

(6) 等圓，等弧：兩個(gè)可以重合的圓稱為等圓。

很容易看出兩個(gè)半徑相等的圓是相等的圓;相反，同一個(gè)圓或相等圓的半徑是相等的。在同一圓或等圓中，相互重合的弧稱為等弧。

2、垂直于弦的直徑

(1) 圓的對(duì)稱性

圓是軸對(duì)稱的圖形，任何直徑的直線都是它的對(duì)稱軸。圓有無(wú)數(shù)對(duì)稱軸。

圓也是一個(gè)中心對(duì)稱的圖形，它的中心是它的對(duì)稱中心。

圓也具有旋轉(zhuǎn)不變性。

(2) 垂直直徑定理

將弦垂直于其直徑平分，并將其面對(duì)的兩個(gè)弧平分。

推論：平分線的直徑(不是直徑)垂直于弦，平分弦的兩個(gè)弧。

3、弧、弦、中心角

(1) 中心角：頂點(diǎn)位于圓中心的角稱為中心角。

(2) 中心角定理

在同一圓或等圓中，等中心角的弧和弦是相等的。

我們還可以得到以下結(jié)果：

① 在同一圓或等圓中，如果兩弧相等，則它們相對(duì)的圓的中心角相等，它們相對(duì)的弦相等。

② 在同一圓或等圓中，如果兩個(gè)弦相等，則它們相對(duì)的圓的中心角相等，上弧和下弧分別相等。

4、圓周角

(1) 圓角的定義：頂點(diǎn)在圓上與圓兩邊相交的角稱為圓角。

(2) 圓角定理：圓弧的圓角等于圓的中心角的一半。

推論：同一弧或等邊弧的圓弧角相等。

半圓(或直徑)的圓角為直角，90°的圓角為直徑。

在同一圓或等圓中，兩個(gè)圓周角、兩個(gè)中心角、兩個(gè)弧和兩個(gè)弦中的一組量相等，與之對(duì)應(yīng)的其他幾組量也相等。

(3) 內(nèi)接多邊形

如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，則該多邊形稱為內(nèi)接圓，該圓稱為該多邊形的外接圓。

(4) 內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角補(bǔ)。

5、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

設(shè)$⊙o$的半徑為$R$，點(diǎn)$p$到圓心的距離為$OP=D$

(1) 點(diǎn)$p$出$⊙o$，$D>;R$。

(2) $⊙o$，$d=R$上的點(diǎn)$p$。

(3) $⊙o$，$D<;R$中的點(diǎn)$p$。

6、三角形外接圓

(1) 不在同一條線上的三個(gè)點(diǎn)決定一個(gè)圓。

(2) 三角形外接圓的概念：一個(gè)圓可以通過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)形成。這個(gè)圓叫做三角形的外接圓。外接圓的中心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，稱為三角形的外中心。

(3) 如何外接三角形

① 確定圓心：三角形兩邊垂直平分線的交點(diǎn)為圓心;

② 確定半徑：從交點(diǎn)到三角形任何頂點(diǎn)的距離就是外接圓的半徑。

7、直線與圓的位置關(guān)系

設(shè)圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d$。

(1) 交點(diǎn)：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)。這時(shí)，我們說(shuō)直線和圓相交。這條線叫做圓的割線。此時(shí)，常用點(diǎn)數(shù)為2，$D<;R$。

(2) 切線：直線和圓之間只有一個(gè)公共點(diǎn)。此時(shí)，我們說(shuō)直線與圓相切。這條線叫做圓的切線，這一點(diǎn)叫做切點(diǎn)。在這種情況下，公共點(diǎn)數(shù)為1，$d=R$。

(3) 分離：直線和圓之間沒(méi)有共同點(diǎn)。這時(shí)，我們說(shuō)直線和圓是分開(kāi)的。此時(shí)，常用點(diǎn)數(shù)為0和$D>;R$。

8、圓的切線

(1) 切線的判定定理

穿過(guò)半徑外端并垂直于半徑的直線是圓的切線。另外，通過(guò)圓心并垂直于切線的直線必須通過(guò)切點(diǎn);垂直于切線并通過(guò)切點(diǎn)的直線必須通過(guò)圓心。

(2) 切線性質(zhì)定理

圓的切線垂直于它經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的半徑。

9、切線長(zhǎng)度

(1) 切線長(zhǎng)度：在圓的切線上通過(guò)圓外的一點(diǎn)，該點(diǎn)與切點(diǎn)之間的線段長(zhǎng)度稱為該點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)度。

(2) 切線長(zhǎng)度定理：一個(gè)圓的兩條切線可以從圓外的一點(diǎn)開(kāi)始畫(huà)，并且它們的切線長(zhǎng)度相等。這一點(diǎn)和連接圓心的線將兩條切線之間的夾角平分。

10、切線的確定及其性質(zhì)的應(yīng)用

(1) 輔助線做法

利用切線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算或論證的常用輔助線是將圓心與切點(diǎn)連接起來(lái)，并通過(guò)垂直構(gòu)造直角三角形來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題。

(2) 直線與圓切線的三種證明方法

① 證明了直線與圓之間存在唯一的公共點(diǎn)。

② 證明了直線穿過(guò)半徑的外端并與半徑垂直。

③ 證明圓心到直線的距離等于圓的半徑(即，$d=R$)。

當(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)已知時(shí)，通常使用方法2。當(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)未知時(shí)，通常使用方法3。

11、三角形內(nèi)接圓

(1) 三角形內(nèi)接圓的幾個(gè)概念

與三角形每邊相切的圓稱為三角形的內(nèi)接圓。內(nèi)接圓的圓心是三角形的三條平分線的交點(diǎn)，稱為三角形的圓心。

(2) 三角形內(nèi)接圓法

確定圓心：三角形兩個(gè)角的平分線的交點(diǎn)就是圓心。

確定半徑：從交點(diǎn)到三角形任意邊的距離就是內(nèi)接圓的半徑。

(3) 如果三角形的三條邊的長(zhǎng)度分別為$a$、$B$、$C$，內(nèi)接圓的半徑為$R$，則三角形的面積為$s=-frac12(a+b+c)r$

12、圓與圓的位置關(guān)系

設(shè)兩個(gè)圓的半徑分別為$R\1$和$R\2(R\1<;R\2)，圓的中心距為$d$。

(1) 兩個(gè)圓是分開(kāi)的

① 向外分離：當(dāng)兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，而一個(gè)圓上的點(diǎn)在另一個(gè)圓之外時(shí)，稱為兩個(gè)圓的向外分離。現(xiàn)在$D>;R\u1+R\u2 left rightarrow$。沒(méi)有共同點(diǎn)。

② 包含(包括同心圓)：當(dāng)兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，且一個(gè)圓上的點(diǎn)在另一個(gè)圓內(nèi)時(shí)，稱為包含;當(dāng)兩個(gè)圓的圓心重合時(shí)，稱為同心圓。現(xiàn)在，$d=R\u2-R\u下面的公式用來(lái)描述1/leftrightarrow$，$d=0/leftrightarrow$的同心圓。沒(méi)有共同點(diǎn)。

(2) 兩個(gè)圓相切

① 外接：當(dāng)兩個(gè)圓有一個(gè)唯一的公共點(diǎn)，除此公共點(diǎn)外，一個(gè)圓上的點(diǎn)在另一個(gè)圓的外面時(shí)，稱為兩個(gè)圓的外接。唯一的公共點(diǎn)稱為切點(diǎn)。現(xiàn)在$d=R\u1+R\u2\\leftrightarrow$限定。公共點(diǎn)的數(shù)目是1。

② 內(nèi)接：當(dāng)兩個(gè)圓有一個(gè)唯一的公共點(diǎn)時(shí)，除此公共點(diǎn)外，一個(gè)圓上的點(diǎn)在另一個(gè)圓內(nèi)，稱為內(nèi)接的兩個(gè)圓。唯一的公共點(diǎn)稱為切點(diǎn)。現(xiàn)在，$d=R\u2-R\u1\\leftrightarrow$被內(nèi)切。公共點(diǎn)的數(shù)目是1。

(3) 兩個(gè)圓相交

兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做兩圓相交。此時(shí)$r_2-r_1

13正多邊形與圓

(1) 正多邊形的幾個(gè)概念

正多邊形的外接圓的中心稱為正多邊形的中心。外接圓的半徑稱為正多邊形的半徑。正多邊形每邊相對(duì)的中心角稱為正多邊形的中心角。從正多邊形的中心到一側(cè)的距離稱為正多邊形的邊中心距離。

(2) 正多邊形的作圖方法

畫(huà)一個(gè)規(guī)則的$n$多邊形的想法是將圓$n$等分，然后依次連接點(diǎn)以得到正多邊形。如果你做一個(gè)正六邊形，你可以先畫(huà)一個(gè)半徑等于已知邊長(zhǎng)的圓，然后在上面切割得到平分點(diǎn)，再連接起來(lái)得到你要做的正六邊形。不是所有的規(guī)則多邊形都可以用尺子來(lái)制作。

(3) 正多邊形的計(jì)算

設(shè)正多邊形的邊數(shù)為$n$，半徑為$R$，邊的中心距為$R$，邊的長(zhǎng)度為$a$

① 正多邊形的內(nèi)角：$\frac(n-2)·180°n=$$180°-$\frac360°n$。

② 正多邊形的中心角：$\frac360°n$。

③ 正多邊形半徑：$R^2=R^2+\frac14^2美元

④ 正多邊形周長(zhǎng)：$C=n·a$。

⑤ 正多邊形面積：$s=-frac12nar=\壓裂12C·r$

14弧長(zhǎng)和扇形面積

(1) 弧長(zhǎng)公式

在半徑為$R$的圓中，由于360°中心角對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)是圓的周長(zhǎng)$C=2πR$，因此$n°中心角對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)是$l=2πR·n360$i.e.$l=-壓裂nπR180$。

(2) 扇形面積公式

由中心角的兩個(gè)半徑和與中心角相對(duì)的弧形成的圖形稱為扇形。在半徑為$R$的圓中，由于與360°中心角相對(duì)的扇區(qū)面積是圓的面積$s=πR^2$，所以中心角為$n°的扇區(qū)面積是$s_扇形=$$πR^2×$\fracn360=$$\fracnπR^2360$。

(3) 圓錐的母線

圓錐體由底部和側(cè)面包圍。連接圓錐體頂部和底部圓周上任何點(diǎn)的線段稱為圓錐體的母線。

(4) 圓錐的側(cè)向膨脹及其計(jì)算

沿母線切割和展平圓錐的側(cè)面很容易，圓錐的展開(kāi)側(cè)視圖是扇形的。

設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)度為$l$，底圓的半徑為$R$，則扇形的半徑為$l$，扇形的弧長(zhǎng)為$2πR$，所以圓錐的邊面積為$s圓錐側(cè)=$$\frac12圓錐體的總面積是$s圓錐全=$$πl(wèi)r+$$πr^2$

2、 圓的相關(guān)示例

如果$⊙o$的半徑為5cm，點(diǎn)$a$和中心$o$之間的距離為4cm，則點(diǎn)$a$和$⊙o$之間的位置關(guān)系為_(kāi)__

A.點(diǎn)A$在圓圈外

B.圓上有點(diǎn)a$

C.點(diǎn)a$在圓圈內(nèi)

D.不確定

答案：C

分析：∵4 cm<;5 cm，即$D<;R$，∵點(diǎn)$a$和$⊙o$在圓圈中。

高三學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的竅門(mén)有哪些

1、做題后加強(qiáng)反思

高三學(xué)生一定要明確一點(diǎn)，就是現(xiàn)在正在做的題，一定不是考試的題。所以高三學(xué)生做題不是目的，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)題目的解題思路和方法才是正道。因此，高三學(xué)生對(duì)于每道題都要加以反思。

2、主動(dòng)復(fù)習(xí)總結(jié)

高三學(xué)生想要學(xué)好數(shù)學(xué)，進(jìn)行章節(jié)總結(jié)是非常重要的。在初中的時(shí)候，都是教師替學(xué)生做總結(jié);但是到了高中之后，就需要學(xué)生自己來(lái)做了。所以高三學(xué)生需要自己常總結(jié)，主動(dòng)復(fù)習(xí)。