圓的周長=直徑×圓周率=半徑×2×圓周率

字母公式：C=πD=2πR

公式說明：

π是圓周率，約等于3.14，D是圓的直徑，R是圓的半徑

應(yīng)用實例：

圓的直徑是6米，周長C=πD=3.14×6=18.84米

圓的半徑是3米，周長C=2πr=2×3.14×3=18.84米

圓相關(guān)公式有哪些

面積公式

1.圓的面積：S=πr?=πd?/4

2.扇形弧長：L=圓心角(弧度制) __ r = n°πr/180°(n為圓心角)

3.扇形面積：S=nπ r?/360=Lr/2(L為扇形的弧長)

4.圓的直徑： d=2r

5.圓錐側(cè)面積： S=πrl(l為母線長)

6.圓錐底面半徑： r=n°/360°L(L為母線長)(r為底面半徑)

周長公式

圓的周長：C=2πr 或 C=πd

圓的方程

1、圓的標準方程：在平面直角坐標系中，以點O(a，b)為圓心，以r為半徑的圓的標準方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。

特別地，以原點為圓心，半徑為r(r>0)的圓的標準方程為x^2+y^2=r^2。

2、圓的一般方程：方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0可變形為(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4.故有：

(1)當D^2+E^2-4F>0時，方程表示以(-D/2,-E/2)為圓心，以(√D^2+E^2-4F)/2為半徑的圓;

(2)當D^2+E^2-4F=0時，方程表示一個點(-D/2，-E/2);

(3)當D^2+E^2-4F<0時，方程不表示任何圖形。

圓的定義及相關(guān)概念

1、圓的一些概念

(1) 圓的定義：在平面中，線段$OA$繞其固定端點$o$旋轉(zhuǎn)一個圓，由另一端點$a$形成的圖形稱為圓。固定端點$o$稱為圓心，線段$OA$稱為半徑。以點$o$為中心的圓記錄為“$⊙o$”，讀作“圓$o$”。

此外，圓心為$o$、半徑為$R$的圓可以看作是到固定點$o$的距離等于固定長度$R$的所有點的集合。

(2) 弦：連接圓上任意兩點的線段稱為弦。

(3) 直徑：穿過圓心的線叫做直徑。

(4) 圓弧：圓上任意兩點之間的部分稱為圓弧。以$a$和$B$結(jié)尾的弧標記為$/offset\frown AB，閱讀“arc$AB$”或“arc$AB$”。

圓的任何非直徑弦將圓分成兩個不同長度的弧。大于半圓的弧稱為上弧，一般用三點表示。小于半圓的弧稱為次弧。

(5) 半圓：圓的任意直徑的兩端將圓分成兩個弧，每個弧稱為半圓。

(6) 等圓，等弧：兩個可以重合的圓稱為等圓。

很容易看出兩個半徑相等的圓是相等的圓;相反，同一個圓或相等圓的半徑是相等的。在同一圓或等圓中，相互重合的弧稱為等弧。

2、垂直于弦的直徑

(1) 圓的對稱性

圓是軸對稱的圖形，任何直徑的直線都是它的對稱軸。圓有無數(shù)對稱軸。

圓也是一個中心對稱的圖形，它的中心是它的對稱中心。

圓也具有旋轉(zhuǎn)不變性。

(2) 垂直直徑定理

將弦垂直于其直徑平分，并將其面對的兩個弧平分。

推論：平分線的直徑(不是直徑)垂直于弦，平分弦的兩個弧。

3、弧、弦、中心角

(1) 中心角：頂點位于圓中心的角稱為中心角。

(2) 中心角定理

在同一圓或等圓中，等中心角的弧和弦是相等的。

我們還可以得到以下結(jié)果：

① 在同一圓或等圓中，如果兩弧相等，則它們相對的圓的中心角相等，它們相對的弦相等。

② 在同一圓或等圓中，如果兩個弦相等，則它們相對的圓的中心角相等，上弧和下弧分別相等。

4、圓周角

(1) 圓角的定義：頂點在圓上與圓兩邊相交的角稱為圓角。

(2) 圓角定理：圓弧的圓角等于圓的中心角的一半。

推論：同一弧或等邊弧的圓弧角相等。

半圓(或直徑)的圓角為直角，90°的圓角為直徑。

在同一圓或等圓中，兩個圓周角、兩個中心角、兩個弧和兩個弦中的一組量相等，與之對應(yīng)的其他幾組量也相等。

(3) 內(nèi)接多邊形

如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，則該多邊形稱為內(nèi)接圓，該圓稱為該多邊形的外接圓。

(4) 內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

圓內(nèi)接四邊形的對角補。

5、點與圓的位置關(guān)系

設(shè)$⊙o$的半徑為$R$，點$p$到圓心的距離為$OP=D$

(1) 點$p$出$⊙o$，$D>;R$。

(2) $⊙o$，$d=R$上的點$p$。

(3) $⊙o$，$D<;R$中的點$p$。

6、三角形外接圓

(1) 不在同一條線上的三個點決定一個圓。

(2) 三角形外接圓的概念：一個圓可以通過三角形的三個頂點形成。這個圓叫做三角形的外接圓。外接圓的中心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，稱為三角形的外中心。

(3) 如何外接三角形

① 確定圓心：三角形兩邊垂直平分線的交點為圓心;

② 確定半徑：從交點到三角形任何頂點的距離就是外接圓的半徑。

7、直線與圓的位置關(guān)系

設(shè)圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d$。

(1) 交點：直線和圓有兩個公共點。這時，我們說直線和圓相交。這條線叫做圓的割線。此時，常用點數(shù)為2，$D<;R$。

(2) 切線：直線和圓之間只有一個公共點。此時，我們說直線與圓相切。這條線叫做圓的切線，這一點叫做切點。在這種情況下，公共點數(shù)為1，$d=R$。

(3) 分離：直線和圓之間沒有共同點。這時，我們說直線和圓是分開的。此時，常用點數(shù)為0和$D>;R$。

8、圓的切線

(1) 切線的判定定理

穿過半徑外端并垂直于半徑的直線是圓的切線。另外，通過圓心并垂直于切線的直線必須通過切點;垂直于切線并通過切點的直線必須通過圓心。

(2) 切線性質(zhì)定理

圓的切線垂直于它經(jīng)過的點的半徑。

9、切線長度

(1) 切線長度：在圓的切線上通過圓外的一點，該點與切點之間的線段長度稱為該點到圓的切線長度。

(2) 切線長度定理：一個圓的兩條切線可以從圓外的一點開始畫，并且它們的切線長度相等。這一點和連接圓心的線將兩條切線之間的夾角平分。

10、切線的確定及其性質(zhì)的應(yīng)用

(1) 輔助線做法

利用切線的性質(zhì)進行計算或論證的常用輔助線是將圓心與切點連接起來，并通過垂直構(gòu)造直角三角形來解決相關(guān)問題。

(2) 直線與圓切線的三種證明方法

① 證明了直線與圓之間存在唯一的公共點。

② 證明了直線穿過半徑的外端并與半徑垂直。

③ 證明圓心到直線的距離等于圓的半徑(即，$d=R$)。

當直線和圓的公共點已知時，通常使用方法2。當直線和圓的公共點未知時，通常使用方法3。

11、三角形內(nèi)接圓

(1) 三角形內(nèi)接圓的幾個概念

與三角形每邊相切的圓稱為三角形的內(nèi)接圓。內(nèi)接圓的圓心是三角形的三條平分線的交點，稱為三角形的圓心。

(2) 三角形內(nèi)接圓法

確定圓心：三角形兩個角的平分線的交點就是圓心。

確定半徑：從交點到三角形任意邊的距離就是內(nèi)接圓的半徑。

(3) 如果三角形的三條邊的長度分別為$a$、$B$、$C$，內(nèi)接圓的半徑為$R$，則三角形的面積為$s=-frac12(a+b+c)r$

12、圓與圓的位置關(guān)系

設(shè)兩個圓的半徑分別為$R\1$和$R\2(R\1<;R\2)，圓的中心距為$d$。

(1) 兩個圓是分開的

① 向外分離：當兩個圓沒有公共點，而一個圓上的點在另一個圓之外時，稱為兩個圓的向外分離。現(xiàn)在$D>;R\u1+R\u2 left rightarrow$。沒有共同點。

② 包含(包括同心圓)：當兩個圓沒有公共點，且一個圓上的點在另一個圓內(nèi)時，稱為包含;當兩個圓的圓心重合時，稱為同心圓。現(xiàn)在，$d=R\u2-R\u下面的公式用來描述1/leftrightarrow$，$d=0/leftrightarrow$的同心圓。沒有共同點。

(2) 兩個圓相切

① 外接：當兩個圓有一個唯一的公共點，除此公共點外，一個圓上的點在另一個圓的外面時，稱為兩個圓的外接。唯一的公共點稱為切點。現(xiàn)在$d=R\u1+R\u2\\leftrightarrow$限定。公共點的數(shù)目是1。

② 內(nèi)接：當兩個圓有一個唯一的公共點時，除此公共點外，一個圓上的點在另一個圓內(nèi)，稱為內(nèi)接的兩個圓。唯一的公共點稱為切點。現(xiàn)在，$d=R\u2-R\u1\\leftrightarrow$被內(nèi)切。公共點的數(shù)目是1。

(3) 兩個圓相交

兩個圓有兩個公共點時，叫做兩圓相交。此時$r_2-r_1

13正多邊形與圓

(1) 正多邊形的幾個概念

正多邊形的外接圓的中心稱為正多邊形的中心。外接圓的半徑稱為正多邊形的半徑。正多邊形每邊相對的中心角稱為正多邊形的中心角。從正多邊形的中心到一側(cè)的距離稱為正多邊形的邊中心距離。

(2) 正多邊形的作圖方法

畫一個規(guī)則的$n$多邊形的想法是將圓$n$等分，然后依次連接點以得到正多邊形。如果你做一個正六邊形，你可以先畫一個半徑等于已知邊長的圓，然后在上面切割得到平分點，再連接起來得到你要做的正六邊形。不是所有的規(guī)則多邊形都可以用尺子來制作。

(3) 正多邊形的計算

設(shè)正多邊形的邊數(shù)為$n$，半徑為$R$，邊的中心距為$R$，邊的長度為$a$

① 正多邊形的內(nèi)角：$\frac(n-2)·180°n=$$180°-$\frac360°n$。

② 正多邊形的中心角：$\frac360°n$。

③ 正多邊形半徑：$R^2=R^2+\frac14^2美元

④ 正多邊形周長：$C=n·a$。

⑤ 正多邊形面積：$s=-frac12nar=\壓裂12C·r$

14弧長和扇形面積

(1) 弧長公式

在半徑為$R$的圓中，由于360°中心角對應(yīng)的弧長是圓的周長$C=2πR$，因此$n°中心角對應(yīng)的弧長是$l=2πR·n360$i.e.$l=-壓裂nπR180$。

(2) 扇形面積公式

由中心角的兩個半徑和與中心角相對的弧形成的圖形稱為扇形。在半徑為$R$的圓中，由于與360°中心角相對的扇區(qū)面積是圓的面積$s=πR^2$，所以中心角為$n°的扇區(qū)面積是$s_扇形=$$πR^2×$\fracn360=$$\fracnπR^2360$。

(3) 圓錐的母線

圓錐體由底部和側(cè)面包圍。連接圓錐體頂部和底部圓周上任何點的線段稱為圓錐體的母線。

(4) 圓錐的側(cè)向膨脹及其計算

沿母線切割和展平圓錐的側(cè)面很容易，圓錐的展開側(cè)視圖是扇形的。

設(shè)圓錐的母線長度為$l$，底圓的半徑為$R$，則扇形的半徑為$l$，扇形的弧長為$2πR$，所以圓錐的邊面積為$s圓錐側(cè)=$$\frac12圓錐體的總面積是$s圓錐全=$$πl(wèi)r+$$πr^2$

2、 圓的相關(guān)示例

如果$⊙o$的半徑為5cm，點$a$和中心$o$之間的距離為4cm，則點$a$和$⊙o$之間的位置關(guān)系為___

A.點A$在圓圈外

B.圓上有點a$

C.點a$在圓圈內(nèi)

D.不確定

答案：C

分析：∵4 cm<;5 cm，即$D<;R$，∵點$a$和$⊙o$在圓圈中。

高三學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的竅門有哪些

1、做題后加強反思

高三學(xué)生一定要明確一點，就是現(xiàn)在正在做的題，一定不是考試的題。所以高三學(xué)生做題不是目的，學(xué)會運用數(shù)學(xué)題目的解題思路和方法才是正道。因此，高三學(xué)生對于每道題都要加以反思。

2、主動復(fù)習(xí)總結(jié)

高三學(xué)生想要學(xué)好數(shù)學(xué)，進行章節(jié)總結(jié)是非常重要的。在初中的時候，都是教師替學(xué)生做總結(jié);但是到了高中之后，就需要學(xué)生自己來做了。所以高三學(xué)生需要自己常總結(jié)，主動復(fù)習(xí)。

數(shù)學(xué)高三備考計劃

一、訓(xùn)練想像力。有的問題既要憑借圖形，又要進行抽象思維。同學(xué)們不但要學(xué)會看圖，而且要學(xué)會畫圖，通過看圖和畫培養(yǎng)自己的空間想象能力比如，幾何中的“點”沒有大小，只有位置。現(xiàn)實生活中的點和實際畫出來的點就有大小。所以說，幾何中的“點”只存在于大腦思維中。

二、準確理解和牢固掌握各種運算所需的概念、性質(zhì)、公式、法則和一些常用數(shù)據(jù)，概念模糊，公式、法則含混，必定影響運算的準確性。為了提高運算的速度，收集、歸納、積累經(jīng)驗，形成熟練技巧，以提高運算的簡捷性和迅速性。

三、審題。有些題目的部分條件并不明確給出，而是隱含在文字敘述之中。把隱含條件挖掘出米，常常是解題的關(guān)鍵所在，對題目隱含條件的挖掘，都要仔細思考除了明確給出的條件以外，是否還隱含著更多的條件，這樣才能準確地理解題意。

最后兩周如何沖刺數(shù)學(xué)

一周做兩份試卷，總結(jié)應(yīng)試技巧

在最后一個自習(xí)階段中，還是應(yīng)該抓住基礎(chǔ)，關(guān)注中等難度的題目，至于難題實際上是考查你在考場上靈活應(yīng)變能力，其中既考查了考生的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)，也能體現(xiàn)心理素質(zhì)。

現(xiàn)在這段時間主要對數(shù)學(xué)知識、已做過的各類試題進行梳理、歸納和總結(jié)，構(gòu)建完整的、明晰的知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，提煉涉及的數(shù)學(xué)解題思想、方法與技巧。前一階段，許多同學(xué)都做了很多的模擬試題，現(xiàn)在要好好地把做過的模擬試卷進行認真地翻閱，溫故而知新。數(shù)學(xué)是一門很強調(diào)邏輯思維的學(xué)科，除了必要的記憶外，更重要在于理解，還須舉一反三、觸類旁通。

每天“過電影”，理清雙基和通法

在高考沖刺階段，“理性”應(yīng)當體現(xiàn)在以下方面：一是要全盤考慮，統(tǒng)籌兼顧，有計劃、有目標，“理”、“練”、“記”相結(jié)合，切忌盲目蠻干。每天要弄清三個問題：我該做什么?我能做什么?我該怎么做?二是在綜合與模擬訓(xùn)練中，仔細地讀、認真地想、有效地記、理智地做、靈活地用、深刻地悟。三是注重課本，注重考綱，注重基礎(chǔ)回歸。最后一周應(yīng)當合理安排“過電影”，回歸基礎(chǔ)找感覺。要理清基本概念、原理等知識的細節(jié)、內(nèi)涵、內(nèi)蘊、變通形式;理清知識網(wǎng)絡(luò)與結(jié)構(gòu)體系;理清重點、熱點題型的解題思路、方法、規(guī)律、步驟與注意事項等。

吃透評分標準，答題注意踩分點

答題時，應(yīng)當注意高考答題“踩點得分”原則，將解題策略轉(zhuǎn)化為得分點，防止“跳步”、“以圖代證”等;要防止一味求“快”，導(dǎo)致“快一點，錯一片”。對于短時間內(nèi)難以弄懂弄通的內(nèi)容或綜合程度高、難度大、耗時多的問題則要學(xué)會取舍，大膽放棄。確保“會做的題拿滿分，不會的題盡量不得零分”。

建議同學(xué)們在臨考前自練近兩年的高考試題(或有標準答案和評分標準的綜合卷)，并且自評自改，精心研究評分標準，吃透評分標準，對照自己的習(xí)慣，時刻提醒自己，力爭減少無謂的失分，保證會做的不錯不扣，即使不完全會做，也要理解多少做多少，以增加得分機會。