圓的周長(zhǎng)=直徑×圓周率=半徑×2×圓周率

字母公式：C=πD=2πR

公式說(shuō)明：

π是圓周率，約等于3.14，D是圓的直徑，R是圓的半徑

應(yīng)用實(shí)例：

圓的直徑是6米，周長(zhǎng)C=πD=3.14×6=18.84米

圓的半徑是3米，周長(zhǎng)C=2πr=2×3.14×3=18.84米

圓相關(guān)公式有哪些

面積公式

1.圓的面積：S=πr?=πd?/4

2.扇形弧長(zhǎng)：L=圓心角(弧度制) __ r = n°πr/180°(n為圓心角)

3.扇形面積：S=nπ r?/360=Lr/2(L為扇形的弧長(zhǎng))

4.圓的直徑： d=2r

5.圓錐側(cè)面積： S=πrl(l為母線長(zhǎng))

6.圓錐底面半徑： r=n°/360°L(L為母線長(zhǎng))(r為底面半徑)

周長(zhǎng)公式

圓的周長(zhǎng)：C=2πr 或 C=πd

圓的方程

1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)O(a，b)為圓心，以r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。

特別地，以原點(diǎn)為圓心，半徑為r(r>0)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x^2+y^2=r^2。

2、圓的一般方程：方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0可變形為(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4.故有：

(1)當(dāng)D^2+E^2-4F>0時(shí)，方程表示以(-D/2,-E/2)為圓心，以(√D^2+E^2-4F)/2為半徑的圓;

(2)當(dāng)D^2+E^2-4F=0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)(-D/2，-E/2);

(3)當(dāng)D^2+E^2-4F<0時(shí)，方程不表示任何圖形。

圓的定義及相關(guān)概念

1、圓的一些概念

(1) 圓的定義：在平面中，線段$OA$繞其固定端點(diǎn)$o$旋轉(zhuǎn)一個(gè)圓，由另一端點(diǎn)$a$形成的圖形稱為圓。固定端點(diǎn)$o$稱為圓心，線段$OA$稱為半徑。以點(diǎn)$o$為中心的圓記錄為“$⊙o$”，讀作“圓$o$”。

此外，圓心為$o$、半徑為$R$的圓可以看作是到固定點(diǎn)$o$的距離等于固定長(zhǎng)度$R$的所有點(diǎn)的集合。

(2) 弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段稱為弦。

(3) 直徑：穿過圓心的線叫做直徑。

(4) 圓?。簣A上任意兩點(diǎn)之間的部分稱為圓弧。以$a$和$B$結(jié)尾的弧標(biāo)記為$/offset\frown AB，閱讀“arc$AB$”或“arc$AB$”。

圓的任何非直徑弦將圓分成兩個(gè)不同長(zhǎng)度的弧。大于半圓的弧稱為上弧，一般用三點(diǎn)表示。小于半圓的弧稱為次弧。

(5) 半圓：圓的任意直徑的兩端將圓分成兩個(gè)弧，每個(gè)弧稱為半圓。

(6) 等圓，等?。簝蓚€(gè)可以重合的圓稱為等圓。

很容易看出兩個(gè)半徑相等的圓是相等的圓;相反，同一個(gè)圓或相等圓的半徑是相等的。在同一圓或等圓中，相互重合的弧稱為等弧。

2、垂直于弦的直徑

(1) 圓的對(duì)稱性

圓是軸對(duì)稱的圖形，任何直徑的直線都是它的對(duì)稱軸。圓有無(wú)數(shù)對(duì)稱軸。

圓也是一個(gè)中心對(duì)稱的圖形，它的中心是它的對(duì)稱中心。

圓也具有旋轉(zhuǎn)不變性。

(2) 垂直直徑定理

將弦垂直于其直徑平分，并將其面對(duì)的兩個(gè)弧平分。

推論：平分線的直徑(不是直徑)垂直于弦，平分弦的兩個(gè)弧。

3、弧、弦、中心角

(1) 中心角：頂點(diǎn)位于圓中心的角稱為中心角。

(2) 中心角定理

在同一圓或等圓中，等中心角的弧和弦是相等的。

我們還可以得到以下結(jié)果：

① 在同一圓或等圓中，如果兩弧相等，則它們相對(duì)的圓的中心角相等，它們相對(duì)的弦相等。

② 在同一圓或等圓中，如果兩個(gè)弦相等，則它們相對(duì)的圓的中心角相等，上弧和下弧分別相等。

4、圓周角

(1) 圓角的定義：頂點(diǎn)在圓上與圓兩邊相交的角稱為圓角。

(2) 圓角定理：圓弧的圓角等于圓的中心角的一半。

推論：同一弧或等邊弧的圓弧角相等。

半圓(或直徑)的圓角為直角，90°的圓角為直徑。

在同一圓或等圓中，兩個(gè)圓周角、兩個(gè)中心角、兩個(gè)弧和兩個(gè)弦中的一組量相等，與之對(duì)應(yīng)的其他幾組量也相等。

(3) 內(nèi)接多邊形

如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，則該多邊形稱為內(nèi)接圓，該圓稱為該多邊形的外接圓。

(4) 內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角補(bǔ)。

5、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

設(shè)$⊙o$的半徑為$R$，點(diǎn)$p$到圓心的距離為$OP=D$

(1) 點(diǎn)$p$出$⊙o$，$D>;R$。

(2) $⊙o$，$d=R$上的點(diǎn)$p$。

(3) $⊙o$，$D<;R$中的點(diǎn)$p$。

6、三角形外接圓

(1) 不在同一條線上的三個(gè)點(diǎn)決定一個(gè)圓。

(2) 三角形外接圓的概念：一個(gè)圓可以通過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)形成。這個(gè)圓叫做三角形的外接圓。外接圓的中心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，稱為三角形的外中心。

(3) 如何外接三角形

① 確定圓心：三角形兩邊垂直平分線的交點(diǎn)為圓心;

② 確定半徑：從交點(diǎn)到三角形任何頂點(diǎn)的距離就是外接圓的半徑。

7、直線與圓的位置關(guān)系

設(shè)圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d$。

(1) 交點(diǎn)：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)。這時(shí)，我們說(shuō)直線和圓相交。這條線叫做圓的割線。此時(shí)，常用點(diǎn)數(shù)為2，$D<;R$。

(2) 切線：直線和圓之間只有一個(gè)公共點(diǎn)。此時(shí)，我們說(shuō)直線與圓相切。這條線叫做圓的切線，這一點(diǎn)叫做切點(diǎn)。在這種情況下，公共點(diǎn)數(shù)為1，$d=R$。

(3) 分離：直線和圓之間沒有共同點(diǎn)。這時(shí)，我們說(shuō)直線和圓是分開的。此時(shí)，常用點(diǎn)數(shù)為0和$D>;R$。

8、圓的切線

(1) 切線的判定定理

穿過半徑外端并垂直于半徑的直線是圓的切線。另外，通過圓心并垂直于切線的直線必須通過切點(diǎn);垂直于切線并通過切點(diǎn)的直線必須通過圓心。

(2) 切線性質(zhì)定理

圓的切線垂直于它經(jīng)過的點(diǎn)的半徑。

9、切線長(zhǎng)度

(1) 切線長(zhǎng)度：在圓的切線上通過圓外的一點(diǎn)，該點(diǎn)與切點(diǎn)之間的線段長(zhǎng)度稱為該點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)度。

(2) 切線長(zhǎng)度定理：一個(gè)圓的兩條切線可以從圓外的一點(diǎn)開始畫，并且它們的切線長(zhǎng)度相等。這一點(diǎn)和連接圓心的線將兩條切線之間的夾角平分。

10、切線的確定及其性質(zhì)的應(yīng)用

(1) 輔助線做法

利用切線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算或論證的常用輔助線是將圓心與切點(diǎn)連接起來(lái)，并通過垂直構(gòu)造直角三角形來(lái)解決相關(guān)問題。

(2) 直線與圓切線的三種證明方法

① 證明了直線與圓之間存在唯一的公共點(diǎn)。

② 證明了直線穿過半徑的外端并與半徑垂直。

③ 證明圓心到直線的距離等于圓的半徑(即，$d=R$)。

當(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)已知時(shí)，通常使用方法2。當(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)未知時(shí)，通常使用方法3。

11、三角形內(nèi)接圓

(1) 三角形內(nèi)接圓的幾個(gè)概念

與三角形每邊相切的圓稱為三角形的內(nèi)接圓。內(nèi)接圓的圓心是三角形的三條平分線的交點(diǎn)，稱為三角形的圓心。

(2) 三角形內(nèi)接圓法

確定圓心：三角形兩個(gè)角的平分線的交點(diǎn)就是圓心。

確定半徑：從交點(diǎn)到三角形任意邊的距離就是內(nèi)接圓的半徑。

(3) 如果三角形的三條邊的長(zhǎng)度分別為$a$、$B$、$C$，內(nèi)接圓的半徑為$R$，則三角形的面積為$s=-frac12(a+b+c)r$

12、圓與圓的位置關(guān)系

設(shè)兩個(gè)圓的半徑分別為$R\1$和$R\2(R\1<;R\2)，圓的中心距為$d$。

(1) 兩個(gè)圓是分開的

① 向外分離：當(dāng)兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，而一個(gè)圓上的點(diǎn)在另一個(gè)圓之外時(shí)，稱為兩個(gè)圓的向外分離?，F(xiàn)在$D>;R\u1+R\u2 left rightarrow$。沒有共同點(diǎn)。

② 包含(包括同心圓)：當(dāng)兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，且一個(gè)圓上的點(diǎn)在另一個(gè)圓內(nèi)時(shí)，稱為包含;當(dāng)兩個(gè)圓的圓心重合時(shí)，稱為同心圓。現(xiàn)在，$d=R\u2-R\u下面的公式用來(lái)描述1/leftrightarrow$，$d=0/leftrightarrow$的同心圓。沒有共同點(diǎn)。

(2) 兩個(gè)圓相切

① 外接：當(dāng)兩個(gè)圓有一個(gè)唯一的公共點(diǎn)，除此公共點(diǎn)外，一個(gè)圓上的點(diǎn)在另一個(gè)圓的外面時(shí)，稱為兩個(gè)圓的外接。唯一的公共點(diǎn)稱為切點(diǎn)。現(xiàn)在$d=R\u1+R\u2\\leftrightarrow$限定。公共點(diǎn)的數(shù)目是1。

② 內(nèi)接：當(dāng)兩個(gè)圓有一個(gè)唯一的公共點(diǎn)時(shí)，除此公共點(diǎn)外，一個(gè)圓上的點(diǎn)在另一個(gè)圓內(nèi)，稱為內(nèi)接的兩個(gè)圓。唯一的公共點(diǎn)稱為切點(diǎn)?，F(xiàn)在，$d=R\u2-R\u1\\leftrightarrow$被內(nèi)切。公共點(diǎn)的數(shù)目是1。

(3) 兩個(gè)圓相交

兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做兩圓相交。此時(shí)$r_2-r_1

13正多邊形與圓

(1) 正多邊形的幾個(gè)概念

正多邊形的外接圓的中心稱為正多邊形的中心。外接圓的半徑稱為正多邊形的半徑。正多邊形每邊相對(duì)的中心角稱為正多邊形的中心角。從正多邊形的中心到一側(cè)的距離稱為正多邊形的邊中心距離。

(2) 正多邊形的作圖方法

畫一個(gè)規(guī)則的$n$多邊形的想法是將圓$n$等分，然后依次連接點(diǎn)以得到正多邊形。如果你做一個(gè)正六邊形，你可以先畫一個(gè)半徑等于已知邊長(zhǎng)的圓，然后在上面切割得到平分點(diǎn)，再連接起來(lái)得到你要做的正六邊形。不是所有的規(guī)則多邊形都可以用尺子來(lái)制作。

(3) 正多邊形的計(jì)算

設(shè)正多邊形的邊數(shù)為$n$，半徑為$R$，邊的中心距為$R$，邊的長(zhǎng)度為$a$

① 正多邊形的內(nèi)角：$\frac(n-2)·180°n=$$180°-$\frac360°n$。

② 正多邊形的中心角：$\frac360°n$。

③ 正多邊形半徑：$R^2=R^2+\frac14^2美元

④ 正多邊形周長(zhǎng)：$C=n·a$。

⑤ 正多邊形面積：$s=-frac12nar=\壓裂12C·r$

14弧長(zhǎng)和扇形面積

(1) 弧長(zhǎng)公式

在半徑為$R$的圓中，由于360°中心角對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)是圓的周長(zhǎng)$C=2πR$，因此$n°中心角對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)是$l=2πR·n360$i.e.$l=-壓裂nπR180$。

(2) 扇形面積公式

由中心角的兩個(gè)半徑和與中心角相對(duì)的弧形成的圖形稱為扇形。在半徑為$R$的圓中，由于與360°中心角相對(duì)的扇區(qū)面積是圓的面積$s=πR^2$，所以中心角為$n°的扇區(qū)面積是$s_扇形=$$πR^2×$\fracn360=$$\fracnπR^2360$。

(3) 圓錐的母線

圓錐體由底部和側(cè)面包圍。連接圓錐體頂部和底部圓周上任何點(diǎn)的線段稱為圓錐體的母線。

(4) 圓錐的側(cè)向膨脹及其計(jì)算

沿母線切割和展平圓錐的側(cè)面很容易，圓錐的展開側(cè)視圖是扇形的。

設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)度為$l$，底圓的半徑為$R$，則扇形的半徑為$l$，扇形的弧長(zhǎng)為$2πR$，所以圓錐的邊面積為$s圓錐側(cè)=$$\frac12圓錐體的總面積是$s圓錐全=$$πl(wèi)r+$$πr^2$

2、 圓的相關(guān)示例

如果$⊙o$的半徑為5cm，點(diǎn)$a$和中心$o$之間的距離為4cm，則點(diǎn)$a$和$⊙o$之間的位置關(guān)系為___

A.點(diǎn)A$在圓圈外

B.圓上有點(diǎn)a$

C.點(diǎn)a$在圓圈內(nèi)

D.不確定

答案：C

分析：∵4 cm<;5 cm，即$D<;R$，∵點(diǎn)$a$和$⊙o$在圓圈中。

高三學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的竅門有哪些

1、做題后加強(qiáng)反思

高三學(xué)生一定要明確一點(diǎn)，就是現(xiàn)在正在做的題，一定不是考試的題。所以高三學(xué)生做題不是目的，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)題目的解題思路和方法才是正道。因此，高三學(xué)生對(duì)于每道題都要加以反思。

2、主動(dòng)復(fù)習(xí)總結(jié)

高三學(xué)生想要學(xué)好數(shù)學(xué)，進(jìn)行章節(jié)總結(jié)是非常重要的。在初中的時(shí)候，都是教師替學(xué)生做總結(jié);但是到了高中之后，就需要學(xué)生自己來(lái)做了。所以高三學(xué)生需要自己?？偨Y(jié)，主動(dòng)復(fù)習(xí)。

數(shù)學(xué)高三備考計(jì)劃

一、訓(xùn)練想像力。有的問題既要憑借圖形，又要進(jìn)行抽象思維。同學(xué)們不但要學(xué)會(huì)看圖，而且要學(xué)會(huì)畫圖，通過看圖和畫培養(yǎng)自己的空間想象能力比如，幾何中的“點(diǎn)”沒有大小，只有位置?，F(xiàn)實(shí)生活中的點(diǎn)和實(shí)際畫出來(lái)的點(diǎn)就有大小。所以說(shuō)，幾何中的“點(diǎn)”只存在于大腦思維中。

二、準(zhǔn)確理解和牢固掌握各種運(yùn)算所需的概念、性質(zhì)、公式、法則和一些常用數(shù)據(jù)，概念模糊，公式、法則含混，必定影響運(yùn)算的準(zhǔn)確性。為了提高運(yùn)算的速度，收集、歸納、積累經(jīng)驗(yàn)，形成熟練技巧，以提高運(yùn)算的簡(jiǎn)捷性和迅速性。

三、審題。有些題目的部分條件并不明確給出，而是隱含在文字?jǐn)⑹鲋?。把隱含條件挖掘出米，常常是解題的關(guān)鍵所在，對(duì)題目隱含條件的挖掘，都要仔細(xì)思考除了明確給出的條件以外，是否還隱含著更多的條件，這樣才能準(zhǔn)確地理解題意。

最后兩周如何沖刺數(shù)學(xué)

一周做兩份試卷，總結(jié)應(yīng)試技巧

在最后一個(gè)自習(xí)階段中，還是應(yīng)該抓住基礎(chǔ)，關(guān)注中等難度的題目，至于難題實(shí)際上是考查你在考場(chǎng)上靈活應(yīng)變能力，其中既考查了考生的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)，也能體現(xiàn)心理素質(zhì)。

現(xiàn)在這段時(shí)間主要對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、已做過的各類試題進(jìn)行梳理、歸納和總結(jié)，構(gòu)建完整的、明晰的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，提煉涉及的數(shù)學(xué)解題思想、方法與技巧。前一階段，許多同學(xué)都做了很多的模擬試題，現(xiàn)在要好好地把做過的模擬試卷進(jìn)行認(rèn)真地翻閱，溫故而知新。數(shù)學(xué)是一門很強(qiáng)調(diào)邏輯思維的學(xué)科，除了必要的記憶外，更重要在于理解，還須舉一反三、觸類旁通。

每天“過電影”，理清雙基和通法

在高考沖刺階段，“理性”應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)在以下方面：一是要全盤考慮，統(tǒng)籌兼顧，有計(jì)劃、有目標(biāo)，“理”、“練”、“記”相結(jié)合，切忌盲目蠻干。每天要弄清三個(gè)問題：我該做什么?我能做什么?我該怎么做?二是在綜合與模擬訓(xùn)練中，仔細(xì)地讀、認(rèn)真地想、有效地記、理智地做、靈活地用、深刻地悟。三是注重課本，注重考綱，注重基礎(chǔ)回歸。最后一周應(yīng)當(dāng)合理安排“過電影”，回歸基礎(chǔ)找感覺。要理清基本概念、原理等知識(shí)的細(xì)節(jié)、內(nèi)涵、內(nèi)蘊(yùn)、變通形式;理清知識(shí)網(wǎng)絡(luò)與結(jié)構(gòu)體系;理清重點(diǎn)、熱點(diǎn)題型的解題思路、方法、規(guī)律、步驟與注意事項(xiàng)等。

吃透評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，答題注意踩分點(diǎn)

答題時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意高考答題“踩點(diǎn)得分”原則，將解題策略轉(zhuǎn)化為得分點(diǎn)，防止“跳步”、“以圖代證”等;要防止一味求“快”，導(dǎo)致“快一點(diǎn)，錯(cuò)一片”。對(duì)于短時(shí)間內(nèi)難以弄懂弄通的內(nèi)容或綜合程度高、難度大、耗時(shí)多的問題則要學(xué)會(huì)取舍，大膽放棄。確?！皶?huì)做的題拿滿分，不會(huì)的題盡量不得零分”。

建議同學(xué)們?cè)谂R考前自練近兩年的高考試題(或有標(biāo)準(zhǔn)答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的綜合卷)，并且自評(píng)自改，精心研究評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，吃透評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)照自己的習(xí)慣，時(shí)刻提醒自己，力爭(zhēng)減少無(wú)謂的失分，保證會(huì)做的不錯(cuò)不扣，即使不完全會(huì)做，也要理解多少做多少，以增加得分機(jī)會(huì)。