國家公務員考試行測容斥問題答題技巧

　　容斥問題即包含與排斥問題，它是一種計數問題。在計數時，幾個計數部分有重復包含時，為了不重復計數，應從他們的和中排除重復部分，采用這種計數方法的題型稱為容斥問題。

　　二、題目特點

　　題目中給出多個概念，概念之間存在交叉關系。

　　三、常考題型

　　1、二者容斥問題

　　公式：覆蓋面積=A+B-A與B的交集

　　例1:大學四年級某班有50名同學，其中奧運會志愿者10人，全運會志愿者17人，30人兩種志愿者都不是，則班內是全運會志愿者且奧運會志愿者的同學是多少?

　　A.6 B.7 C.8 D.9

　　解析：兩個概念分別的奧運會志愿者和全運會志愿者，設班內是全運會志愿者且奧運會志愿者的同學有X人，則有10+17-X+30= 50,所以X=7,即班內是全運會志愿者且奧運會志愿者的同學有7人。

　　2.三者容斥問題

　　公式：覆蓋面積=A+B+C-兩者交-2×三者交

　　例2:某調查公司對甲、乙、丙三部電影的收看情況向125人進行調查，有89人看過甲片，有47人看過乙片，有63人看過丙片，其中有24人三部電影都看過，20人一部也沒有看過，則只看過其中兩部電影的人數是多少人?

　　A、69 B、65 C、57 D、46

　　解析：三個概念分別是甲片、乙片、丙片，假設只看過其中兩部電影的人數有X人，則89+47+63-X-2×24+20=125.所以X=46.即只看過其中兩部電影的人數有46人。

　　3.容斥極值問題

　　容斥極值最常考的就是容斥交集的最小值，我們可以套用公式解決。

　　①(A∩B)=A+B-I (I表示全集)

　　②(A∩B∩C)=A+B+C-2I

　　③(A∩B∩C∩D)=A+B+C+D-3I

　　例3:小明、小剛、小紅、小英四人一起參加一次英語考試，已知考試共有100道題，且小明做對了79題，小剛做對了88題，小紅做對了91題，小英作對了89.

　　問題：

　　①小明和小剛都最對的題目至少有幾題?

　　②小明、小剛、小紅都最對的題目至少有幾題?

　　③小明、小剛、小紅、小英四人最對的題目至少有幾題?

　　解析：

　　①小明和小剛都最對的題目至少有79+88-100=67人

　　②小明、小剛、小紅都最對的題目至少有79+88+91-2×100=58人

　　③小明、小剛、小紅、小英四人最對的題目至少有79+88+91+89-3×100=47人。

　　容斥公式

　　也可表示為

　　設S為有限集,,則

　　兩個集合的容斥關系公式：A∪B=A+B-A∩B(∩：重合的部分)

　　三個集合的容斥關系公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C

　　詳細推理如下：

　　1、等式右邊改造={[(A+B-A∩B)+C-B∩C]-C∩A}+A∩B∩C

　　2、文氏圖分塊標記如右圖圖：1245構成A，2356構成B，4567構成C

　　3、等式右邊()里指的是下圖的1+2+3+4+5+6六部分：

　　那么A∪B∪C還缺部分7。

　　4、等式右邊[]號里+C(4+5+6+7)后，相當于A∪B∪C多加了4+5+6三部分，

　　減去B∩C(即5+6兩部分)后，還多加了部分4。

　　5、等式右邊{}里減去C∩A(即4+5兩部分)后，A∪B∪C又多減了部分5，

　　則加上A∩B∩C(即5)剛好是A∪B∪C。

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