函數的單調性數學教案

　　3.通過知識的探究過程培養學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生經歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程.

　　【教學重點】 函數單調性的概念、判斷及證明.

　　【教學難點】 歸納抽象函數單調性的定義以及根據定義證明函數的單調性.

　　【教學方法】 教師啟發講授，學生探究學習.

　　【教學手段】 計算機、投影儀.

　　【教學過程】

　　一、創設情境，引入課題

　　課前布置任務：

　　(1) 由于某種原因，2008年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.

　　(2) 通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況.

　　課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事.

　　下圖是北京市今年8月8日一天24小時內氣溫隨時間變化的曲線圖.

　　引導學生識圖，捕捉信息，啟發學生思考.

　　問題：觀察圖形，能得到什么信息?

　　預案：(1)當天的最高溫度、最低溫度以及何時達到;

　　(2)在某時刻的溫度;

　　(3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低.

　　在生活中，我們關心很多數據的變化規律，了解這些數據的變化規律，對我們的生活是很有幫助的.

　　問題：還能舉出生活中其他的數據變化情況嗎?

　　預案：水位高低、燃油價格、股票價格等.

　　歸納：用函數觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數值是變大還是變小.

　　〖設計意圖〗由生活情境引入新課，激發興趣.

　　二、歸納探索，形成概念

　　對于自變量變化時，函數值是變大還是變小，初中同學們就有了一定的認識，但是沒有嚴格的定義，今天我們的任務首先就是建立函數單調性的嚴格定義.

　　1.借助圖象，直觀感知

　　問題1：分別作出函數

　　的圖象，并且觀察自變量變化時，函數值有什么變化規律?

　　預案：(1)函數

　　在整個定義域內 y隨x的增大而增大;函數

　　在整個定義域內 y隨x的增大而減小. (2)函數

　　在

　　上 y隨x的增大而增大，在

　　上y隨x的增大而減小. (3)函數

　　在

　　上 y隨x的增大而減小，在

　　上y隨x的增大而減小.

　　引導學生進行分類描述 (增函數、減函數).同時明確函數的單調性是對定義域內某個區間而言的，是函數的局部性質.

　　問題2：能不能根據自己的理解說說什么是增函數、減函數?

　　預案：如果函數

　　在某個區間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數

　　在該區間上為增函數;如果函數

　　在某個區間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們說函數

　　在該區間上為減函數.

　　教師指出：這種認識是從圖象的角度得到的，是對函數單調性的直觀，描述性的認識.

　　〖設計意圖〗從圖象直觀感知函數單調性，完成對函數單調性的第一次認識.

　　2.探究規律，理性認識

　　問題1：下圖是函數

　　的圖象,能說出這個函數分別在哪個區間為增函數和減函數嗎?

　　學生的困難是難以確定分界點的確切位置.

　　通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究.

　　〖設計意圖〗使學生體會到用數量大小關系嚴格表述函數單調性的必要性.

　　問題2：如何從解析式的角度說明

　　在

　　為增函數? 預案： (1) 在給定區間內取兩個數，例如1和2，因為12<22,所以

　　在

　　為增函數. (2) 仿(1)，取很多組驗證均滿足，所以

　　在

　　為增函數. (3) 任取

　　,因為

　　,即

　　，所以

　　在

　　為增函數. 對于學生錯誤的回答，引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析,使學生認識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導學生在給定的區間內任意取兩個自變量

　　.

　　〖設計意圖〗把對單調性的認識由感性上升到理性認識的高度,完成對概念的第二次認識.事實上也給出了證明單調性的方法，為證明單調性做好鋪墊.

　　3.抽象思維，形成概念

　　問題：你能用準確的數學符號語言表述出增函數的定義嗎?

　　師生共同探究，得出增函數嚴格的定義，然后學生類比得出減函數的定義.

　　(1)板書定義

　　(2)鞏固概念

　　判斷題：

　　①

　　. ②若函數

　　. ③若函數

　　在區間

　　和(2,3)上均為增函數，則函數

　　在區間(1,3)上為增函數. ④因為函數

　　在區間

　　上都是減函數，所以

　　在

　　上是減函數.

　　通過判斷題，強調三點：

　　①單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性.

　　②對于某個具體函數的單調區間，可以是整個定義域(如一次函數)，可以是定義域內某個區間(如二次函數)，也可以根本不單調(如常函數).

　　③函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增(或減)函數，一般不能認為函數在

　　上是增(或減)函數.

　　思考：如何說明一個函數在某個區間上不是單調函數?

　　〖設計意圖〗讓學生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學生對定義的理解，完成對概念的第三次認識.

　　三、掌握證法，適當延展

　　例 證明函數

　　在

　　上是增函數.

　　1.分析解決問題 針對學生可能出現的問題，組織學生討論、交流.

　　證明：任取

　　, 　　　　　　　設元

　　求差

　　變形

　　,

　　斷號 ∴

　　∴

　　即

　　∴函數

　　在

　　上是增函數.　　　　　定論

　　2.歸納解題步驟

　　引導學生歸納證明函數單調性的步驟：設元、作差、變形、斷號、定論.

　　練習：證明函數

　　在

　　上是增函數. 問題：要證明函數

　　在區間

　　上是增函數，除了用定義來證，如果可以證得對任意的

　　，且

　　有

　　可以嗎? 引導學生分析這種敘述與定義的等價性.讓學生嘗試用這種等價形式證明函數

　　在

　　上是增函數.

　　〖設計意圖〗初步掌握根據定義證明函數單調性的方法和步驟.等價形式進一步發展可以得到導數法，為用導數方法研究函數單調性埋下伏筆.

　　四、歸納小結，提高認識

　　學生交流在本節課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結.

　　1.小結

　　(1) 概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性.

　　(2) 證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論.

　　(3) 數學思想方法和思維方法：數形結合，等價轉化，類比等.

　　2.作業

　　書面作業：課本第60頁 習題2.3 第4，5，6題.

　　課后探究：

　　(1) 證明：函數

　　在區間

　　上是增函數的充要條件是對任意的

　　，且

　　有

　　. (2) 研究函數

　　的單調性，并結合描點法畫出函數的草圖.

　　函數的單調性教學反思

　　在教學《函數的單調性》時,教學過程是這樣的:

　　教師引導學生觀察一次函數、二次函數、反比例函數等的圖像后給出了函數的單調性等概念,然后組織學生根據圖像找出單調區間,運用概念對一些簡單函數的單調性做出判斷,緊接著在這節課上又把函數的四則運算的單調性及復合函數的單調性進行滲透.

　　本節課是一節概念課.函數單調性的本質是利用解析的方法來研究函數圖象的性質，如何將圖形特征用嚴謹的數學語言來刻畫是本節課的難點之一.另一難點是學生在高中階段第一次接觸代數證明，如何進行嚴格的推理論證并完成規范的書面表達.

　　圍繞以上兩個難點，在本節課的處理上，我著重注意了以下幾個問題：

　　1、重視學生的親身體驗.具體體現在兩個方面：①將新知識與學生的已有知識建立了聯系.如：學生對一次函數、二次函數和反比例函數的認識，學生對“y隨x的增大而增大”的理解;②運用新知識嘗試解決新問題.如：對函數 在定義域上的單調性的討論.

　　2、重視學生發現的過程.如：充分暴露學生將函數圖象(形)的特征轉化為函數值(數)的特征的思維過程;充分暴露在正、反兩個方面探討活動中，學生認知結構升華、發現的過程.

　　3、重視學生的動手實踐過程.通過對定義的解讀、鞏固，讓學生動手去實踐運用定義.

　　4、重視課堂問題的設計.通過對問題的設計，引導學生解決問題.

　　從教的角度評析這節課很到位,但從學的視角去評價就會發現:教師為了營造輕松愉快的課堂氣氛,注重了學生學習興趣的培養,但過于心切,總想盡快地“直奔主題”把主要內容教授給學生后進行習題訓練;而讓學生經歷實踐，然后通過探討等得出概念的過程卻在師生間的簡單問答中滑過,學生的思維情緒始終處于壓抑狀態,使得教學無法向縱深發展,知識目標的完成受到影響,學生必要的能力得不到良好訓練,學習情感得不到有效激發.

　　由此,教學設計很有必要從以下幾個方面進行改進:在新授課上,應從學生的已有知識和生活經驗出發,圍繞知識目標展開新知識出現的情境,適當推遲新知識得出時間,豐富學生的情感體驗,在知識目標得到有效落實的同時,達成能力目標.在習題課上,應以能力培養為核心,注重在知識網絡的交匯點設計問題,突出基礎知識的應用和基本技能的運用,強化知識目標,廣泛建立知識之間的聯系,培養學生學習數學的情感,在知識應用課上,應強調數學走向生活,解決具有現實意義的生活問題,培養學生的數學建模能力.

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