函數(shù)的單調(diào)性數(shù)學(xué)教案

　　3.通過知識(shí)的探究過程培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認(rèn)知過程.

　　【教學(xué)重點(diǎn)】 函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷及證明.

　　【教學(xué)難點(diǎn)】 歸納抽象函數(shù)單調(diào)性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性.

　　【教學(xué)方法】 教師啟發(fā)講授，學(xué)生探究學(xué)習(xí).

　　【教學(xué)手段】 計(jì)算機(jī)、投影儀.

　　【教學(xué)過程】

　　一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

　　課前布置任務(wù)：

　　(1) 由于某種原因，2008年北京奧運(yùn)會(huì)開幕式時(shí)間由原定的7月25日推遲到8月8日，請(qǐng)查閱資料說明做出這個(gè)決定的主要原因.

　　(2) 通過查閱歷史資料研究北京奧運(yùn)會(huì)開幕式當(dāng)天氣溫變化情況.

　　課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數(shù)等均開始下降，比較適宜大型國(guó)際體育賽事.

　　下圖是北京市今年8月8日一天24小時(shí)內(nèi)氣溫隨時(shí)間變化的曲線圖.

　　引導(dǎo)學(xué)生識(shí)圖，捕捉信息，啟發(fā)學(xué)生思考.

　　問題：觀察圖形，能得到什么信息?

　　預(yù)案：(1)當(dāng)天的最高溫度、最低溫度以及何時(shí)達(dá)到;

　　(2)在某時(shí)刻的溫度;

　　(3)某些時(shí)段溫度升高，某些時(shí)段溫度降低.

　　在生活中，我們關(guān)心很多數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，對(duì)我們的生活是很有幫助的.

　　問題：還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎?

　　預(yù)案：水位高低、燃油價(jià)格、股票價(jià)格等.

　　歸納：用函數(shù)觀點(diǎn)看，其實(shí)就是隨著自變量的變化，函數(shù)值是變大還是變小.

　　〖設(shè)計(jì)意圖〗由生活情境引入新課，激發(fā)興趣.

　　二、歸納探索，形成概念

　　對(duì)于自變量變化時(shí)，函數(shù)值是變大還是變小，初中同學(xué)們就有了一定的認(rèn)識(shí)，但是沒有嚴(yán)格的定義，今天我們的任務(wù)首先就是建立函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義.

　　1.借助圖象，直觀感知

　　問題1：分別作出函數(shù)

　　的圖象，并且觀察自變量變化時(shí)，函數(shù)值有什么變化規(guī)律?

　　預(yù)案：(1)函數(shù)

　　在整個(gè)定義域內(nèi) y隨x的增大而增大;函數(shù)

　　在整個(gè)定義域內(nèi) y隨x的增大而減小. (2)函數(shù)

　　在

　　上 y隨x的增大而增大，在

　　上y隨x的增大而減小. (3)函數(shù)

　　在

　　上 y隨x的增大而減小，在

　　上y隨x的增大而減小.

　　引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類描述 (增函數(shù)、減函數(shù)).同時(shí)明確函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì).

　　問題2：能不能根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)、減函數(shù)?

　　預(yù)案：如果函數(shù)

　　在某個(gè)區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數(shù)

　　在該區(qū)間上為增函數(shù);如果函數(shù)

　　在某個(gè)區(qū)間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們說函數(shù)

　　在該區(qū)間上為減函數(shù).

　　教師指出：這種認(rèn)識(shí)是從圖象的角度得到的，是對(duì)函數(shù)單調(diào)性的直觀，描述性的認(rèn)識(shí).

　　〖設(shè)計(jì)意圖〗從圖象直觀感知函數(shù)單調(diào)性，完成對(duì)函數(shù)單調(diào)性的第一次認(rèn)識(shí).

　　2.探究規(guī)律，理性認(rèn)識(shí)

　　問題1：下圖是函數(shù)

　　的圖象,能說出這個(gè)函數(shù)分別在哪個(gè)區(qū)間為增函數(shù)和減函數(shù)嗎?

　　學(xué)生的困難是難以確定分界點(diǎn)的確切位置.

　　通過討論，使學(xué)生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時(shí)不夠精確，需要結(jié)合解析式進(jìn)行嚴(yán)密化、精確化的研究.

　　〖設(shè)計(jì)意圖〗使學(xué)生體會(huì)到用數(shù)量大小關(guān)系嚴(yán)格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性.

　　問題2：如何從解析式的角度說明

　　在

　　為增函數(shù)? 預(yù)案： (1) 在給定區(qū)間內(nèi)取兩個(gè)數(shù)，例如1和2，因?yàn)?2<22,所以

　　在

　　為增函數(shù). (2) 仿(1)，取很多組驗(yàn)證均滿足，所以

　　在

　　為增函數(shù). (3) 任取

　　,因?yàn)?/p>

　　,即

　　，所以

　　在

　　為增函數(shù). 對(duì)于學(xué)生錯(cuò)誤的回答，引導(dǎo)學(xué)生分別用圖形語言和文字語言進(jìn)行辨析,使學(xué)生認(rèn)識(shí)到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導(dǎo)學(xué)生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個(gè)自變量

　　.

　　〖設(shè)計(jì)意圖〗把對(duì)單調(diào)性的認(rèn)識(shí)由感性上升到理性認(rèn)識(shí)的高度,完成對(duì)概念的第二次認(rèn)識(shí).事實(shí)上也給出了證明單調(diào)性的方法，為證明單調(diào)性做好鋪墊.

　　3.抽象思維，形成概念

　　問題：你能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)語言表述出增函數(shù)的定義嗎?

　　師生共同探究，得出增函數(shù)嚴(yán)格的定義，然后學(xué)生類比得出減函數(shù)的定義.

　　(1)板書定義

　　(2)鞏固概念

　　判斷題：

　　①

　　. ②若函數(shù)

　　. ③若函數(shù)

　　在區(qū)間

　　和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)

　　在區(qū)間(1,3)上為增函數(shù). ④因?yàn)楹瘮?shù)

　　在區(qū)間

　　上都是減函數(shù)，所以

　　在

　　上是減函數(shù).

　　通過判斷題，強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：

　　①單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性.

　　②對(duì)于某個(gè)具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以是整個(gè)定義域(如一次函數(shù))，可以是定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間(如二次函數(shù))，也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù)).

　　③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個(gè)區(qū)間A,B上都是增(或減)函數(shù)，一般不能認(rèn)為函數(shù)在

　　上是增(或減)函數(shù).

　　思考：如何說明一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)?

　　〖設(shè)計(jì)意圖〗讓學(xué)生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義，通過對(duì)判斷題的辨析，加深學(xué)生對(duì)定義的理解，完成對(duì)概念的第三次認(rèn)識(shí).

　　三、掌握證法，適當(dāng)延展

　　例 證明函數(shù)

　　在

　　上是增函數(shù).

　　1.分析解決問題 針對(duì)學(xué)生可能出現(xiàn)的問題，組織學(xué)生討論、交流.

　　證明：任取

　　, 　　　　　　　設(shè)元

　　求差

　　變形

　　,

　　斷號(hào) ∴

　　∴

　　即

　　∴函數(shù)

　　在

　　上是增函數(shù).　　　　　定論

　　2.歸納解題步驟

　　引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號(hào)、定論.

　　練習(xí)：證明函數(shù)

　　在

　　上是增函數(shù). 問題：要證明函數(shù)

　　在區(qū)間

　　上是增函數(shù)，除了用定義來證，如果可以證得對(duì)任意的

　　，且

　　有

　　可以嗎? 引導(dǎo)學(xué)生分析這種敘述與定義的等價(jià)性.讓學(xué)生嘗試用這種等價(jià)形式證明函數(shù)

　　在

　　上是增函數(shù).

　　〖設(shè)計(jì)意圖〗初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟.等價(jià)形式進(jìn)一步發(fā)展可以得到導(dǎo)數(shù)法，為用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆.

　　四、歸納小結(jié)，提高認(rèn)識(shí)

　　學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的體會(huì)、收獲，交流學(xué)習(xí)過程中的體驗(yàn)和感受，師生合作共同完成小結(jié).

　　1.小結(jié)

　　(1) 概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性.

　　(2) 證明方法和步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號(hào)、定論.

　　(3) 數(shù)學(xué)思想方法和思維方法：數(shù)形結(jié)合，等價(jià)轉(zhuǎn)化，類比等.

　　2.作業(yè)

　　書面作業(yè)：課本第60頁(yè) 習(xí)題2.3 第4，5，6題.

　　課后探究：

　　(1) 證明：函數(shù)

　　在區(qū)間

　　上是增函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的

　　，且

　　有

　　. (2) 研究函數(shù)

　　的單調(diào)性，并結(jié)合描點(diǎn)法畫出函數(shù)的草圖.

　　函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)反思

　　在教學(xué)《函數(shù)的單調(diào)性》時(shí),教學(xué)過程是這樣的:

　　教師引導(dǎo)學(xué)生觀察一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等的圖像后給出了函數(shù)的單調(diào)性等概念,然后組織學(xué)生根據(jù)圖像找出單調(diào)區(qū)間,運(yùn)用概念對(duì)一些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性做出判斷,緊接著在這節(jié)課上又把函數(shù)的四則運(yùn)算的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行滲透.

　　本節(jié)課是一節(jié)概念課.函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)是利用解析的方法來研究函數(shù)圖象的性質(zhì)，如何將圖形特征用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言來刻畫是本節(jié)課的難點(diǎn)之一.另一難點(diǎn)是學(xué)生在高中階段第一次接觸代數(shù)證明，如何進(jìn)行嚴(yán)格的推理論證并完成規(guī)范的書面表達(dá).

　　圍繞以上兩個(gè)難點(diǎn)，在本節(jié)課的處理上，我著重注意了以下幾個(gè)問題：

　　1、重視學(xué)生的親身體驗(yàn).具體體現(xiàn)在兩個(gè)方面：①將新知識(shí)與學(xué)生的已有知識(shí)建立了聯(lián)系.如：學(xué)生對(duì)一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的認(rèn)識(shí)，學(xué)生對(duì)“y隨x的增大而增大”的理解;②運(yùn)用新知識(shí)嘗試解決新問題.如：對(duì)函數(shù) 在定義域上的單調(diào)性的討論.

　　2、重視學(xué)生發(fā)現(xiàn)的過程.如：充分暴露學(xué)生將函數(shù)圖象(形)的特征轉(zhuǎn)化為函數(shù)值(數(shù))的特征的思維過程;充分暴露在正、反兩個(gè)方面探討活動(dòng)中，學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)升華、發(fā)現(xiàn)的過程.

　　3、重視學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐過程.通過對(duì)定義的解讀、鞏固，讓學(xué)生動(dòng)手去實(shí)踐運(yùn)用定義.

　　4、重視課堂問題的設(shè)計(jì).通過對(duì)問題的設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生解決問題.

　　從教的角度評(píng)析這節(jié)課很到位,但從學(xué)的視角去評(píng)價(jià)就會(huì)發(fā)現(xiàn):教師為了營(yíng)造輕松愉快的課堂氣氛,注重了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng),但過于心切,總想盡快地“直奔主題”把主要內(nèi)容教授給學(xué)生后進(jìn)行習(xí)題訓(xùn)練;而讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)踐，然后通過探討等得出概念的過程卻在師生間的簡(jiǎn)單問答中滑過,學(xué)生的思維情緒始終處于壓抑狀態(tài),使得教學(xué)無法向縱深發(fā)展,知識(shí)目標(biāo)的完成受到影響,學(xué)生必要的能力得不到良好訓(xùn)練,學(xué)習(xí)情感得不到有效激發(fā).

　　由此,教學(xué)設(shè)計(jì)很有必要從以下幾個(gè)方面進(jìn)行改進(jìn):在新授課上,應(yīng)從學(xué)生的已有知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā),圍繞知識(shí)目標(biāo)展開新知識(shí)出現(xiàn)的情境,適當(dāng)推遲新知識(shí)得出時(shí)間,豐富學(xué)生的情感體驗(yàn),在知識(shí)目標(biāo)得到有效落實(shí)的同時(shí),達(dá)成能力目標(biāo).在習(xí)題課上,應(yīng)以能力培養(yǎng)為核心,注重在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)問題,突出基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用和基本技能的運(yùn)用,強(qiáng)化知識(shí)目標(biāo),廣泛建立知識(shí)之間的聯(lián)系,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感,在知識(shí)應(yīng)用課上,應(yīng)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)走向生活,解決具有現(xiàn)實(shí)意義的生活問題,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力.

函數(shù)的單調(diào)性數(shù)學(xué)教案及反思相關(guān)