中考數(shù)學練習題(一)

　　1. (上海，第6題4分)如圖，已知AC、BD是菱形ABCD的對角線，那么下列結(jié)論一定正確的是(　　)

　　A. △ABD與△ABC的周長相等

　　B. △ABD與△ABC的面積相等

　　C. 菱形的周長等于兩條對角線之和的兩倍

　　D. 菱形的面積等于兩條對角線之積的兩倍

　　考點： 菱形的性質(zhì).

　　分析： 分別利用菱形的性質(zhì)結(jié)合各選項進而求出即可.

　　解答： 解：A、∵四邊形ABCD是菱形，

　　∴AB=BC=AD，

　　∵AC

　　∴△ABD與△ABC的周長不相等，故此選項錯誤;

　　B、∵S△ABD=S平行四邊形ABCD，S△ABC=S平行四邊形ABCD，

　　∴△ABD與△ABC的面積相等，故此選項正確;

　　C、菱形的周長與兩條對角線之和不存在固定的數(shù)量關(guān)系，故此選項錯誤;

　　D、菱形的面積等于兩條對角線之積的，故此選項錯誤;

　　故選：B.

　　點評： 此題主要考查了菱形的性質(zhì)應用，正確把握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

　　2. (山東棗莊，第7題3分)如圖，菱形ABCD的邊長為4，過點A、C作對角線AC的垂線，分別交CB和AD的延長線于點E、F，AE=3，則四邊形AECF的周長為( )

　　A. 22 B. 18 C. 14 D. 11

　　考點： 菱形的性質(zhì)

　　分析： 根據(jù)菱形的對角線平分一組對角可得∠BAC=∠BCA，再根據(jù)等角的余角相等求出∠BAE=∠E，根據(jù)等角對等邊可得BE=AB，然后求出EC，同理可得AF，然后判斷出四邊形AECF是平行四邊形，再根據(jù)周長的定義列式計算即可得解.

　　解答： 解：在菱形ABCD中，∠BAC=∠BCA，

　　∵AE⊥AC，

　　∴∠BAC+∠BAE=∠BCA+∠E=90°，

　　∴∠BAE=∠E，

　　∴BE=AB=4，

　　∴EC=BE+BC=4+4=8，

　　同理可得AF=8，

　　∵AD∥BC，

　　∴四邊形AECF是平行四邊形，

　　∴四邊形AECF的周長=2(AE+EC)=2(3+8)=22.

　　故選A.

　　點評： 本題考查了菱形的對角線平分一組對角的性質(zhì)，等角的余角相等的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并求出EC的長度是解題的關(guān)鍵.

　　3. (山東煙臺，第6題3分)如圖，在菱形ABCD中，M，N分別在AB，CD上，且AM=CN，MN與AC交于點O，連接BO.若∠DAC=28°，則∠OBC的度數(shù)為(　　)

　　A. 28° B. 52° C. 62° D. 72°

　　考點：菱形的性質(zhì)，全等三角形.

　　分析：根據(jù)菱形的性質(zhì)以及AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得BO⊥AC，繼而可求得∠OBC的度數(shù).

　　解答：∵四邊形ABCD為菱形，∴AB∥CD，AB=BC，

　　∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，

　　在△AMO和△CNO中，∵ ，∴△AMO≌△CNO(ASA)，

　　∴AO=CO，∵AB=BC，∴BO⊥AC，∴∠BOC=90°，∵∠DAC=28°，

　　∴∠BCA=∠DAC=28°，∴∠OBC=90°﹣28°=62°.故選C.

　　點評： 本題考查了菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，注意掌握菱形對邊平行以及對角線相互垂直的性質(zhì).

　　4.(山東聊城，第9題，3分)如圖，在矩形ABCD中，邊AB的長為3，點E，F(xiàn)分別在AD，BC上，連接BE，DF，EF，BD.若四邊形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，則邊BC的長為(　　)

　　A. 2 B. 3 C. 6 D.

　　考點： 矩形的性質(zhì);菱形的性質(zhì).

　　分析： 根據(jù)矩形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)得∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，AB=BO=3，因為四邊形BEDF是菱形，所以BE，AE可求出進而可求出BC的長.

　　解答： 解：∵四邊形ABCD是矩形，

　　∴∠A=90°，

　　即BA⊥BF，

　　∵四邊形BEDF是菱形，

　　∴EF⊥BD，∠EBO=∠DBF，

　　∴AB=BO=3，∠ABE=∠EBO，

　　∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，

　　∴BE= =2 ，

　　∴BF=BE=2 ，

　　∵EF=AE+FC，AE=CF，EO=FO

　　∴CF=AE= ，

　　∴BC=BF+CF=3 ，

　　故選B.

　　點評： 本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)以及在直角三角形中30°角所對的直角邊時斜邊的一半，解題的關(guān)鍵是求出∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°.

　　5. (浙江杭州，第5題，3分)下列命題中，正確的是(　　)

　　A. 梯形的對角線相等 B. 菱形的對角線不相等

　　C. 矩形的對角線不能相互垂直 D. 平行四邊形的對角線可以互相垂直

　　考點： 命題與定理.

　　專題： 常規(guī)題型.

　　分析： 根據(jù)等腰梯形的判定與性質(zhì)對A進行判斷;根據(jù)菱形的性質(zhì)對B進行判斷;根據(jù)矩形的性質(zhì)對C進行判斷;根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)對D進行判斷.

　　解答： 解：A、等腰梯形的對角線相等，所以A選項錯誤;

　　B、菱形的對角線不一定相等，若相等，則菱形變?yōu)檎叫危訠選項錯誤;

　　C、矩形的對角線不一定相互垂直，若互相垂直，則矩形變?yōu)檎叫危訡選項錯誤;

　　D、平行四邊形的對角線可以互相垂直，此時平行四邊形變?yōu)榱庑危訢選項正確.

　　故選D.

　　點評： 本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題.許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式;有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理.

　　6.(2014年貴州黔東南10.(4分))如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，將矩形ABCD沿EF折疊，使點C與點A重合，則折痕EF的長為(　　)

　　A. 6 B. 12 C. 2 D. 4

　　考點： 翻折變換(折疊問題).

　　分析： 設(shè)BE=x，表示出CE=16﹣x，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得AE=CE，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列出方程求出x，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得∠AEF=∠CEF，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠AFE=∠CEF，然后求出∠AEF=∠AFE，根據(jù)等角對等邊可得AE=AF，過點E作EH⊥AD于H，可得四邊形ABEH是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出EH、AH，然后求出FH，再利用勾股定理列式計算即可得解.

　　解答： 解：設(shè)BE=x，則CE=BC﹣BE=16﹣x，

　　∵沿EF翻折后點C與點A重合，

　　∴AE=CE=16﹣x，

　　在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，

　　即82+x2=(16﹣x)2，

　　解得x=6，

　　∴AE=16﹣6=10，

　　由翻折的性質(zhì)得，∠AEF=∠CEF，

　　∵矩形ABCD的對邊AD∥BC，

　　∴∠AFE=∠CEF，

　　∴∠AEF=∠AFE，

　　∴AE=AF=10，

　　過點E作EH⊥AD于H，則四邊形ABEH是矩形，

　　∴EH=AB=8，

　　AH=BE=6，

　　∴FH=AF﹣AH=10﹣6=4，

　　在Rt△EFH中，EF= = =4 .

　　故選D.

　　點評： 本題考查了翻折變換的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并作利用勾股定理列方程求出BE的長度是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破口.

　　7.(遵義9.(3分))如圖，邊長為2的正方形ABCD中，P是CD的中點，連接AP并延長交BC的延長線于點F，作△CPF的外接圓⊙O，連接BP并延長交⊙O于點E，連接EF，則EF的長為(　　)

　　A. B. C. D.

　　考點： 相似三角形的判定與性質(zhì);正方形的性質(zhì);圓周角定理

　　分析： 先求出CP、BF長，根據(jù)勾股定理求出BP，根據(jù)相似得出比例式，即可求出答案.

　　解答： 解：∵四邊形ABCD是正方形，

　　∴∠ABC=∠PCF=90°，CD∥AB，

　　∵F為CD的中點，CD=AB=BC=2，

　　∴CP=1，

　　∵PC∥AB，

　　∴△FCP∽△FBA，

　　∴ = =，

　　∴BF=4，

　　∴CF=4﹣2=2，

　　由勾股定理得：BP= = ，

　　∵四邊形ABCD是正方形，

　　∴∠BCP=∠PCF=90°，

　　∴PF是直徑，

　　∴∠E=90°=∠BCP，

　　∵∠PBC=∠EBF，

　　∴△BCP∽△BEF，

　　∴ = ，

　　∴ = ，

　　∴EF= ，

　　故選D.

　　點評： 本題考查了正方形的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應用，主要考查學生的推理能力和計算能力，題目比較好，難度適中.

　　8.(十堰9.(3分))如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足為點E，連接AC交DE于點F，點G為AF的中點，∠ACD=2∠ACB.若DG=3，EC=1，則DE的長為(　　)

　　A. 2 B. C. 2 D.

　　考點： 勾股定理;等腰三角形的判定與性質(zhì);直角三角形斜邊上的中線.

　　分析： 根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可得DG=AG，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠GAD=∠GDA，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠CGD=2∠GAD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量關(guān)系可得∠ACD=∠CGD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得CD=DG，再根據(jù)勾股定理即可求解.

　　解答： 解：∵AD∥BC，DE⊥BC，

　　∴DE⊥AD，∠CAD=∠ACB

　　∵點G為AF的中點，

　　∴DG=AG，

　　∴∠GAD=∠GDA，

　　∴∠CGD=2∠CAD，

　　∵∠ACD=2∠ACB，

　　∴∠ACD=∠CGD，

　　∴CD=DG=3，

　　在Rt△CED中，DE= =2 .

　　故選：C.

　　點評： 綜合考查了勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線，解題的關(guān)鍵是證明CD=DG=3.

　　9. (江蘇徐州,第7題3分)若順次連接四邊形的各邊中點所得的四邊形是菱形，則該四邊形一定是(　　)

　　A.矩形 B. 等腰梯形

　　C.對角線相等的四邊形 D. 對角線互相垂直的四邊形

　　考點： 中點四邊形.

　　分析： 首先根據(jù)題意畫出圖形，由四邊形EFGH是菱形，點E，F(xiàn)，G，H分別是邊AD，AB，BC，CD的中點，利用三角形中位線的性質(zhì)與菱形的性質(zhì)，即可判定原四邊形一定是對角線相等的四邊形.

　　解答： 解：如圖，根據(jù)題意得：四邊形EFGH是菱形，點E，F(xiàn)，G，H分別是邊AD，AB，BC，CD的中點，

　　∴EF=FG=CH=EH，BD=2EF，AC=2FG，

　　∴BD=AC.

　　∴原四邊形一定是對角線相等的四邊形.

　　故選C.

　　點評： 此題考查了菱形的性質(zhì)與三角形中位線的性質(zhì).此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用.

　　10. (山東淄博,第9題4分)如圖，ABCD是正方形場地，點E在DC的延長線上，AE與BC相交于點F.有甲、乙、丙三名同學同時從點A出發(fā)，甲沿著A﹣B﹣F﹣C的路徑行走至C，乙沿著A﹣F﹣E﹣C﹣D的路徑行走至D，丙沿著A﹣F﹣C﹣D的路徑行走至D.若三名同學行走的速度都相同，則他們到達各自的目的地的先后順序(由先至后)是(　　)

　　A. 甲乙丙 B. 甲丙乙 C. 乙丙甲 D. 丙甲乙

　　考點： 正方形的性質(zhì);線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短;比較線段的長短.

　　分析： 根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AB=BC=CD=AD，∠B=∠ECF，根據(jù)直角三角形得出AF>AB，EF>CF，分別求出甲、乙、丙行走的距離，再比較即可.

　　解答： 解：∵四邊形ABCD是正方形，

　　∴AB=BC=CD=AD，∠B=90°，

　　甲行走的距離是AB+BF+CF=AB+BC=2AB;

　　乙行走的距離是AF+EF+EC+CD;

　　丙行走的距離是AF+FC+CD，

　　∵∠B=∠ECF=90°，

　　∴AF>AB，EF>CF，

　　∴AF+FC+CD>2AB，AF+FC+CD

　　∴甲比丙先到，丙比乙先到，

　　即順序是甲丙乙，

　　故選B.

　　點評： 本題考查了正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)的應用，題目比較典型，難度適中.

　　11.(福建福州,第9題4分)如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形ADE. AC，BE相交于點F，則∠BFC為【 】

　　A.45°　 　 B.55°　 　 C.60°　 　 D.75°

　　12.(甘肅蘭州,第7題4分)下列命題中正確的是(　　)

　　A. 有一組鄰邊相等的四邊形是菱形

　　B. 有一個角是直角的平行四邊形是矩形

　　C. 對角線垂直的平行四邊形是正方形

　　D. 一組對邊平行的四邊形是平行四邊形

　　考點： 命題與定理.

　　分析： 利用特殊四邊形的判定定理對個選項逐一判斷后即可得到正確的選項.

　　解答： 解：A、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故選項錯誤;

　　B、正確;

　　C、對角線垂直的平行四邊形是菱形，故選項錯誤;

　　D、兩組對邊平行的四邊形才是平行四邊形，故選項錯誤.

　　故選B.

　　點評： 本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是牢記特殊的四邊形的判定定理，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.

　　13.(廣州,第8題3分)將四根長度相等的細木條首尾相接，用釘子釘成四邊形 ，轉(zhuǎn)動這個四邊形，使它形狀改變，當 時，如圖 ，測得 ，當 時，如圖 ， ( ).

　　(A) (B)2 (C) (D)

　　圖2-① 圖2-②

　　【考點】正方形、有 內(nèi)角的菱形的對角線與邊長的關(guān)系

　　【分析】由正方形的對角線長為2可知正方形和菱形的邊長為 ，當 =60°時，菱形較短的對角線等于邊長，故答案為 .

　　【答案】A

　　14.(廣州,第10題3分)如圖3，四邊形 、 都是正方形，點 在線段 上，連接 ， 和 相交于點 .設(shè) ， ( ).下列結(jié)論：① ;② ;③ ;④ .其中結(jié)論正確的個數(shù)是( ).

　　(A)4個 (B)3個 (C)2個 (D)1個

　　【考點】三角形全等、相似三角形

　　【分析】①由 可證 ，故①正確;

　　②延長BG交DE于點H，由①可得 ， (對頂角)

　　∴ =90°，故②正確;

　　③由 可得 ，故③不正確;

　　④ ， 等于相似比的平方，即 ，

　　∴ ，故④正確.

　　【答案】B

　　15.(畢節(jié)地區(qū)，第8題3分)如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BC相交于點O，H為AD邊中點，菱形ABCD的周長為28，則OH的長等于( )

　　A. 3.5 B. 4 C. 7 D. 14

　　考點： 菱形的性質(zhì);直角三角形斜邊上的中線;三角形中位線定理

　　分析： 根據(jù)菱形的四條邊都相等求出AB，菱形的對角線互相平分可得OB=OD，然后判斷出OH是△ABD的中位線，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得OH= AB.

　　解答： 解：∵菱形ABCD的周長為28，

　　∴AB=28÷4=7，OB=OD，

　　∵H為AD邊中點，

　　∴OH是△ABD的中位線，

　　∴OH= AB= ×7=3.5.

　　故選A.

　　點評： 本題考查了菱形的對角線互相平分的性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵.

　　16.(襄陽，第12題3分)如圖，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，且AE= AB，將矩形沿直線EF折疊，點B恰好落在AD邊上的點P處，連接BP交EF于點Q，對于下列結(jié)論：①EF=2BE;②PF=2PE;③FQ=4EQ;④△PBF是等邊三角形.其中正確的是(　　)

　　A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①④

　　考點： 翻折變換(折疊問題);矩形的性質(zhì)

　　分析： 求出BE=2AE，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得PE=BE，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出∠APE=30°，然后求出∠AEP=60°，再根據(jù)翻折的性質(zhì)求出∠BEF=60°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠EFB=30°，然后根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得EF=2BE，判斷出①正確;利用30°角的正切值求出PF= PE，判斷出②錯誤;求出BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判斷出③錯誤;求出∠PBF=∠PFB=60°，然后得到△PBF是等邊三角形，判斷出④正確.

　　解答： 解：∵AE= AB，

　　∴BE=2AE，

　　由翻折的性質(zhì)得，PE=BE，

　　∴∠APE=30°，

　　∴∠AEP=90°﹣30°=60°，

　　∴∠BEF= (180°﹣∠AEP)= (180°﹣60°)=60°，

　　∴∠EFB=90°﹣60°=30°，

　　∴EF=2BE，故①正確;

　　∵BE=PE，

　　∴EF=2PE，

　　∵EF>PF，

　　∴PF>2PE，故②錯誤;

　　由翻折可知EF⊥PB，

　　∴∠EBQ=∠EFB=30°，

　　∴BE=2EQ，EF=2BE，

　　∴FQ=3EQ，故③錯誤;

　　由翻折的性質(zhì)，∠EFB=∠BFP=30°，

　　∴∠BFP=30°+30°=60°，

　　∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，

　　∴∠PBF=∠PFB=60°，

　　∴△PBF是等邊三角形，故④正確;

　　綜上所述，結(jié)論正確的是①④.

　　故選D.

　　點評： 本題考查了翻折變換的性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，等邊三角形的判定，熟記各性質(zhì)并準確識圖是解題的關(guān)鍵.

　　17.(孝感，第9題3分)如圖，正方形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點D(5，3)在邊AB上，以C為中心，把△CDB旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后點D的對應點D′的坐標是(　　)

　　A. (2，10) B. (﹣2，0) C. (2，10)或(﹣2，0) D. (10，2)或(﹣2，0)

　　考點： 坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn).

　　分析： 分順時針旋轉(zhuǎn)和逆時針旋轉(zhuǎn)兩種情況討論解答即可.

　　解答： 解：∵點D(5，3)在邊AB上，

　　∴BC=5，BD=5﹣3=2，

　　①若順時針旋轉(zhuǎn)，則點D′在x軸上，OD′=2，

　　所以，D′(﹣2，0)，

　　②若逆時針旋轉(zhuǎn)，則點D′到x軸的距離為10，到y(tǒng)軸的距離為2，

　　所以，D′(2，10)，

　　綜上所述，點D′的坐標為(2，10)或(﹣2，0).

　　故選C.

　　點評： 本題考查了坐標與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，正方形的性質(zhì)，難點在于分情況討論.

　　18.(臺灣，第12題3分)如圖，D為△ABC內(nèi)部一點，E、F兩點分別在AB、BC上，且四邊形DEBF為矩形，直線CD交AB于G點.若CF=6，BF=9，AG=8，則△ADC的面積為何?(　　)

　　A.16 B.24 C.36 D.54

　　分析：由于△ADC=△AGC﹣△ADG，根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形的面積公式計算即可求解.

　　解：△ADC=△AGC﹣△ADG=12×AG×BC﹣12×AG×BF

　　=12×8×(6+9)﹣12×8×9=60﹣36=24.

　　故選：B.

　　點評：考查了三角形的面積和矩形的性質(zhì)，本題關(guān)鍵是活用三角形面積公式進行計算.

　　19.(臺灣，第27題3分)如圖，矩形ABCD中，AD=3AB，O為AD中點，是半圓.甲、乙兩人想在上取一點P，使得△PBC的面積等于矩形ABCD的面積其作法如下：

　　(甲) 延長BO交于P點，則P即為所求;

　　(乙) 以A為圓心，AB長為半徑畫弧，交于P點，則P即為所求.

　　對于甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確?(　　)

　　A.兩人皆正確 B.兩人皆錯誤 C.甲正確，乙錯誤 D.甲錯誤，乙正確

　　分析：利用三角形的面積公式進而得出需P甲H=P乙K=2AB，即可得出答案.

　　解：要使得△PBC的面積等于矩形ABCD的面積，

　　需P甲H=P乙K=2AB.

　　故兩人皆錯誤.

　　故選：B.

　　點評：此題主要考查了三角形面積求法以及矩形的性質(zhì)，利用四邊形與三角形面積關(guān)系得出是解題關(guān)鍵.

　　20.(浙江寧波，第6題4分)菱形的兩條對角線長分別是6和8，則此菱形的邊長是( )

　　A. 10 B. 8 C. 6 D. 5

　　考點： 菱形的性質(zhì);勾股定理.

　　分析： 根據(jù)菱形的性質(zhì)及勾股定理即可求得菱形的邊長.

　　解答： 解：∵四邊形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，

　　∴OB=OD=3，OA=OC=4，AC⊥BD，

　　在Rt△AOB中，

　　由勾股定理得：AB= = =5，

　　即菱形ABCD的邊長AB=BC=CD=AD=5，

　　故選D.

　　點評： 本題考查了菱形的性質(zhì)和勾股定理，關(guān)鍵是求出OA、OB的長，注意：菱形的對角線互相平分且垂直.

　　21.(浙江寧波，第11題4分)如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中點，那么CH的長是( )

　　A. 2.5 B.

　　C.

　　D. 2

　　考點： 直角三角形斜邊上的中線;勾股定理;勾股定理的逆定理.

　　分析： 連接AC、CF，根據(jù)正方形性質(zhì)求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可.

　　解答： 解：如圖，連接AC、CF，

　　∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，

　　∴AC= ，CF=3 ，

　　∠ACD=∠GCF=45°，

　　∴∠ACF=90°，

　　由勾股定理得，AF= = =2 ，

　　∵H是AF的中點，

　　∴CH= AF= ×2 = .

　　故選B.

　　點評： 本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵.

　　22.(呼和浩特，第9題3分)已知矩形ABCD的周長為20cm，兩條對角線AC，BD相交于點O，過點O作AC的垂線EF，分別交兩邊AD，BC于E，F(xiàn)(不與頂點重合)，則以下關(guān)于△CDE與△ABF判斷完全正確的一項為(　　)

　　A. △CDE與△ABF的周長都等于10cm，但面積不一定相等

　　B. △CDE與△ABF全等，且周長都為10cm

　　C. △CDE與△ABF全等，且周長都為5cm

　　D. △CDE與△ABF全等，但它們的周長和面積都不能確定

　　考點： 矩形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);線段垂直平分線的性質(zhì).

　　分析： 根據(jù)矩形的性質(zhì)，AO=CO，由EF⊥AC，得EA=EC，則△CDE的周長是矩形周長的一半，再根據(jù)全等三角形的判定方法可求出△CDE與△ABF全等，進而得到問題答案.

　　解答： 解：∵AO=CO，EF⊥AC，

　　∴EF是AC的垂直平分線，

　　∴EA=EC，

　　∴△CDE的周長=CD+DE+CE=CD+AD= 矩形ABCD的周長=10cm，

　　同理可求出△ABF的周長為10cm，

　　根據(jù)全等三角形的判定方法可知：△CDE與△ABF全等，

　　故選B.

　　點評： 本題考查了矩形的對角線互相平分的性質(zhì)，還考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定方法，題目的難度不大.

　　23. (株洲，第7題，3分)已知四邊形ABCD是平行四邊形，再從①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四個條件中，選兩個作為補充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，現(xiàn)有下列四種選法，其中錯誤的是(　　)

　　A. 選①② B. 選②③ C. 選①③ D. 選②④

　　考點： 正方形的判定;平行四邊形的性質(zhì).

　　分析： 要判定是正方形，則需能判定它既是菱形又是矩形.

　　解答： 解：A、由①得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由②得有一個角是直角的平行四邊形是矩形，所以平行四邊形ABCD是正方形，正確，故本選項不符合題意;

　　B、由②得有一個角是直角的平行四邊形是矩形，由③得對角線相等的平行四邊形是矩形，所以不能得出平行四邊形ABCD是正方形，錯誤，故本選項符合題意;

　　C、由①得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由③得對角線相等的平行四邊形是矩形，所以平行四邊形ABCD是正方形，正確，故本選項不符合題意;

　　D、由②得有一個角是直角的平行四邊形是矩形，由④得對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以平行四邊形ABCD是正方形，正確，故本選項不符合題意.

　　故選B.

　　點評： 本題考查了正方形的判定方法：

　　①先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等;

　　②先判定四邊形是菱形，再判定這個矩形有一個角為直角.

　　③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進行判定.

　　中考數(shù)學練習題(二)

　　1.(2013年廣西柳州)下列四個圖中，∠x是圓周角的是(　　)

　　A50° B70° C 120°D90°

　　2.(2013年福建三明)如圖5­1­14，A，B，C是⊙O上的三點，已知∠AOC=110°，則∠ABC的度數(shù)是(　　)

　　A.50° B.55° C.60° D.70°

　　3.(2013年浙江紹興)紹興是著名的橋鄉(xiāng)，如圖5­1­15，圓拱橋的拱頂?shù)剿娴木嚯xCD為8 m，橋拱半徑OC為5 m，則水面寬AB為(　　)

　　A. 4 m B. 5 m C. 6 m D. 8 m

　　4.(2012年山東泰安)如圖5­1­16，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為M，下列結(jié)論不成立的是(　　)

　　A.CM=DM B. = C.∠ACD=∠ADC D.OM=MD

　　5.(2013年云南紅河州)如圖5­1­17，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，弦BD平分∠ABC，則下列結(jié)論錯誤的是(　　)

　　A.AD=DC B. ∠ADB= ∠DAB C.∠ADB=∠ACB D.∠DAB=∠CBA

　　6.(2013年海南)如圖5­1­18，在⊙O中，弦BC=1，點A是圓上一點，且∠BAC=30°，則⊙O的半徑是(　　)

　　A.1 B.2 C.3 D.5

　　7.(2013年貴州遵義)如圖5­1­19，OC是⊙O的半徑，AB是弦，且OC⊥AB，點P在⊙O上，∠APC=26°，則∠BOC=____________.

　　8.(2013年青海西寧)如圖5­1­20，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，若CD=6，且AE∶BE=1∶3，則AB=__________.

　　9.如圖5­1­21，點A，B，C，D在⊙O上，點O在∠D的內(nèi)部，四邊形OABC為平行四邊形，則∠OAD+∠OCD=________°.

　　10.如圖5­1­22，在⊙O中，直徑AB⊥CD于點E，連接CO并延長交AD于點F，且CF⊥AD，求∠D的度數(shù).

　　11.(2012年湖南長沙)如圖5­1­23，A，P，B，C是半徑為8的⊙O上的四點，且滿足∠BAC=∠APC=60°.

　　(1)求證：△ABC是等邊三角形;

　　(2)求圓心O到BC的距離OD.

　　B級　中等題

　　12.如圖5­1­24，A，B是⊙O上兩點.若四邊形ACBO是菱形，⊙O的半徑為r，則點A與點B之間的距離為(　　)

　　圖5­1­24

　　A.2r B.3r C.r D.2r

　　13.(2012年貴州黔西南州)如圖5­1­25，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=8，AC=4，D是AB邊上一點，P是優(yōu)弧 的中點，連接PA，PB，PC，PD.當BD的長度為多少時，△PAD是以AD為底邊的等腰三角形?并加以證明.

　　C級　拔尖題

　　14.(2013年遼寧盤錦)如圖5­1­26，在平面直角坐標系中，直線l經(jīng)過原點O，且與x軸正半軸的夾角為30°，點M在x軸上，⊙M半徑為2，⊙M與直線l相交于A，B兩點，若△ABM為等腰直角三角形，則點M的坐標為______________.

　　1.C　2.B　3.D　4.D　5.D　6.A　7.52°

　　8.4 3　9.60

　　10.解：如圖23，連接BD.

　　∵AB是⊙O的直徑，∴BD⊥AD.

　　又∵CF⊥AD，∴BD∥CF.∴∠BDC=∠C.

　　又∵∠BDC=12∠BOC，∴∠C=12∠BOC.

　　∵AB⊥CD，∴∠C=30°，∴∠ADC=60°.

　　圖23 　　　　　圖24

　　11.解：(1)∵∠BAC=∠APC=60°，

　　又∵∠APC=∠ABC，∴∠ABC=60°.

　　∵∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=60°.

　　∴△ABC是等邊三角形.

　　(2)如圖24，連接OB.

　　∵△ABC為等邊三角形，⊙O為其外接圓，

　　∴O為△ABC的外心.∴BO平分∠ABC.

　　∴∠OBD=30°，∴OD=12OB=12×8=4.

　　12.B

　　13.解：當BD=4時，△PAD是以AD為底邊的等腰三角形.理由如下：

　　∵P是優(yōu)弧 的中點，

　　∴ = ，即PB=PC.

　　又∵BD=AC=4，∠PBD=∠PCA，

　　∴△PBD≌△PCA(SAS)，∴PA=PD.

　　∴△PAD是以AD為底邊的等腰三角形.

　　14.(2 2，0)或(-2 2，0)　解析：如圖25，過點M作MC⊥l，垂足為C，

　　圖25

　　∵△MAB是等腰直角三角形，∴MA=MB.

　　∴∠BAM=∠ABM=45°.

　　∵MC⊥直線l，∴∠BAM=∠CMA=45°.

　　∴AC=CM.

　　Rt△ACM中，即AC2+CM2=AM2，

　　∵2CM2=4，CM=2.

　　Rt△OCM中，∠COM=30°，∴CM=12OM.

　　∴OM=2CM=2 2.∴M(2 2，0).

　　根據(jù)對稱性，在負半軸的點M(-2 2，0)也滿足條件.

　　故M(2 2，0)或(-2 2，0).

　　中考數(shù)學練習題(三)

　　A級　基礎(chǔ)題

　　1.(上海)在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC和BD交于點O，下列條件中，能判斷梯形ABCD是等腰梯形的是(　　)

　　A.∠BDC=∠BCD B.∠ABC=∠DAB C.∠ADB=∠DAC D.∠AOB=∠BOC

　　2.(福建漳州)如圖4­3­56，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠B=80°，則∠D的度數(shù)是(　　) m

　　A.120° B.110° C.100° D.80°

　　3.(湖北十堰)如圖4­3­57，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，則下底BC的長為(　　)

　　A.8 B.9 C.10 D.11

　　4.如圖4­3­58，在一張△ABC紙片中， ∠C=90°， ∠B=60°，DE是中位線，現(xiàn)把紙片沿中位線DE剪開，計劃拼出以下四個圖形：①鄰邊不等的矩形;②等腰梯形;③有一個角為銳角的菱形;④正方形.那么以上圖形一定能被拼成的個數(shù)為(　　)

　　A.1 B.2 C.3 D.4

　　5.(江蘇無錫)如圖4­3­59，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分線交BC于點E，連接DE，則四邊形ABED的周長等于(　　)

　　A.17 B.18 C.19 D.20

　　6.(江蘇南通)如圖4­3­60，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠A+∠B=90°，AB=

　　7 cm，BC=3 cm，AD=4 cm，則CD=______cm.

　　7.(湖北襄陽)如圖4­3­61，在梯形ABCD中，AD∥BC，E為BC的中點，BC=2AD，EA=ED，AC與ED相交于點F.求證：梯形ABCD是等腰梯形.

　　8.(廣西柳州)如圖4­3­62，四邊形ABCD為等腰梯形，AD∥BC，連接AC，BD.在平面內(nèi)將△DBC沿BC翻折得到△EBC.

　　(1)四邊形ABEC一定是什么四邊形?

　　(2)證明你在(1)中所得出的結(jié)論.

　　B級　中等題

　　9.(四川內(nèi)江)四邊形ABCD是梯形，BD=AC，且BD⊥AC，若AB=2，CD=4，則S梯形ABCD=________.

　　10.(遼寧盤錦)在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，若梯形的周長為10，則AD的長為________.

　　C級　拔尖題

　　11.(河南)在等邊三角形ABC中，BC=6 cm，射線AG∥BC，點E從點A出發(fā)沿射線AG以1 cm/s的速度運動，同時點F從點B出發(fā)沿射線BC以2 cm/s的速度運動，設(shè)運動時間為t(單位：s).

　　(1)連接EF，當EF經(jīng)過AC邊的中點D時，求證： △ADE≌△CDF.

　　(2)填空：

　　①當t為________s時，四邊形ACFE是菱形;

　　②當t為________s時，以A，F(xiàn)，C，E為頂點的四邊形是直角梯形.

　　梯形

　　1.C　2.C　3.A　4.C　5.A　6.2

　　7.證明：∵AD∥BC，

　　∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD.

　　又∵EA=ED，

　　∴∠EAD=∠EDA.∴∠DEC=∠AEB.

　　又∵EB=EC，

　　∴△DEC≌△AEB.∴AB=CD.

　　∴梯形ABCD是等腰梯形.

　　8.解：(1)平行四邊形.

　　(2)∵四邊形ABCD為等腰梯形，

　　∴AB=CD，AC=BD.

　　∵△DBC沿BC翻折得到△EBC，

　　∴DC=CE，BD=BE.

　　∴AB=CE，AC=BE.

　　∴四邊形ABEC是平行四邊形.

　　9.9　10.2

　　11.(1)證明：∵AG∥BC，∴∠EAD=∠DCF.

　　∵D是AC邊的中點，∴AD=CD.

　　又∵∠ADE=∠CDF，∴△ADE≌△CDF.

　　(2)①∵當四邊形ACFE是菱形時，

　　∴AE=AC=CF=EF.

　　由題意可知：AE=t，CF=2t-6，∴t=6.

　　②ⅰ)若四邊形ACFE是直角梯形，此時EF⊥AG.

　　過C作CM⊥AG于M，

　　則AM=3，AE-CF=AM，即t-(2t-6)=3，∴t=3.

　　此時，C與F重合，不符合題意，舍去.

　　ⅱ)若四邊形AFCE是直角梯形，此時AF⊥BC.

　　∵△ABC是等邊三角形，F(xiàn)是BC中點，

　　∴2t=3，得到t=32.經(jīng)檢驗，符合題意.

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