【專題】壓軸題.

　　【分析】根據(jù)日歷上數(shù)字規(guī)律得出，圈出的9個數(shù)，最大數(shù)與最小數(shù)的差為16，以及利用最大數(shù)與最小數(shù)的積為192，求出兩數(shù)，再利用上下對應數(shù)字關系得出其他數(shù)即可.

　　【解答】解：根據(jù)圖象可以得出，圈出的9個數(shù)，最大數(shù)與最小數(shù)的差為16，設最小數(shù)為：x，則最大數(shù)為x+16，根據(jù)題意得出：

　　x(x+16)=192，

　　解得：x1=8，x2=﹣24，(不合題意舍去)，

　　故最小的三個數(shù)為：8，9，10，

　　下面一行的數(shù)字分別比上面三個數(shù)大7，即為：15，16，17，

　　第3行三個數(shù)，比上一行三個數(shù)分別大7，即為：22，23，24，

　　故這9個數(shù)的和為：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144.

　　故選：D.

　　【點評】此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律以及一元二次方程的解法，根據(jù)已知得出最大數(shù)與最小數(shù)的差為16是解題關鍵.

　　二、填空題

　　11.一元二次方程x2﹣3=0的根為　x1= ，x2=﹣ 　.

　　【考點】解一元二次方程-直接開平方法.

　　【分析】直接解方程得出答案，注意用直接開平方法.

　　【解答】解：x2﹣3=0，

　　x2=3，

　　x= ，

　　x1= ，x2=﹣ .

　　故答案為：x1= ，x2=﹣ .

　　【點評】此題主要考查了直接開平方法解方程，題目比較典型，是中考中的熱點問題.

　　12.如果(x2+y2)(x2+y2﹣2)=3，則x2+y2的值是　3　.

　　【考點】換元法解一元二次方程.

　　【專題】換元法.

　　【分析】先設x2+y2=t，則方程即可變形為t(t﹣2)=3，解方程即可求得t即x2+y2的值.

　　【解答】解：設x2+y2=t(t≥0).則原方程可化為：

　　t(t﹣2)=3，即(t﹣3)(t+1)=0，

　　∴t﹣3=0或t+1=0，

　　解得t=3，或t=﹣1(不合題意，舍去);

　　故答案是：3.

　　【點評】本題考查了換元法﹣﹣解一元二次方程.解答該題時需注意條件：x2+y2=t且t≥0.

　　13.已知x1，x2是一元二次方程x2+6x+3=0兩個實數(shù)根，則 的值為　10　.

　　【考點】根與系數(shù)的關系.

　　【分析】根據(jù) = = = ，

　　根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系可得：兩根之積與兩根之和的值，代入上式計算即可.

　　【解答】解：∵x1、x2是方程x2+6x+3=0的兩個實數(shù)根，

　　∴x1+x2=﹣6，

　　x1•x2=3.

　　又∵ =

　　=

　　= ，

　　將x1+x2=﹣6，x1•x2=3代入上式得

　　原式= =10.

　　故填空答案為10.

　　【點評】將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法.

　　14.已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的兩個根，則 + 等于　﹣2　.

　　【考點】根與系數(shù)的關系.

　　【專題】計算題.

　　【分析】根據(jù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與系數(shù)的關系得到x1+x2=2，x1•x2=1，然后變形 + 得 ，再把x1+x2=2，x1•x2=﹣1整體代入計算即可.

　　【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的兩個根，

　　∴x1+x2=2，x1•x2=﹣1，

　　∴ + = =﹣2.

　　故答案為﹣2.

　　【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與系數(shù)的關系：若方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=﹣ ，x1•x2= .也考查了一元二次方程的根的判別式.

　　15.若x1，x2是方程3x2﹣|x|﹣4=0的兩根，則 =　 　.

　　【考點】根與系數(shù)的關系.

　　【分析】首先假設x>0或x<0分別討論，再利用所求根代入得出即可.

　　【解答】解：當x>0，

　　則3x2﹣|x|﹣4=0，可變形為：3x2﹣x﹣4=0，

　　解得：x1= ，x2=﹣1(不合題意舍去)，

　　當x<0，

　　則3x2﹣|x|﹣4=0，可變形為：3x2+x﹣4=0，

　　解得：x1=﹣ ，x2=1(不合題意舍去)，

　　則 = ，

　　故答案為： .

　　【點評】此題主要考查了絕對值的性質以及一元二次方程的解法，根據(jù)已知利用分類討論得出是解題關鍵.

　　16.為解決群眾看病難的問題，一種藥品連續(xù)兩次降價，每盒的價格由原來的60元降至48.6元，則平均每次降價的百分率為　10　%.

　　【考點】一元二次方程的應用.

　　【專題】增長率問題.

　　【分析】降低后的價格=降低前的價格×(1﹣降低率)，如果設平均每次降價的百分率是x，則第一次降低后的價格是60(1﹣x)，那么第二次后的價格是60(1﹣x)2，即可列出方程求解.

　　【解答】解：設平均每次降價的百分率為x，依題意列方程：60(1﹣x)2=48.6，

　　解方程得x1=0.1=10%，x2=1.9(舍去).

　　故平均每次降價的百分率為10%.

　　【點評】本題比較簡單，考查的是一元二次方程在實際生活中的運用，屬較簡單題目.

　　三、解答題(共52分)

　　17.解下列方程：

　　(1)2x2﹣4x﹣5=0.

　　(2)x2﹣4x+1=0.

　　(3)(y﹣1)2+2y(1﹣y)=0.

　　【考點】解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-配方法;解一元二次方程-公式法.

　　【專題】計算題.

　　【分析】(1)先計算判別式的值，然后利用求根公式法解方程;

　　(2)先利用配方法得到(x﹣2)2=3，然后利用直接開平方法解方程;

　　(3)先變形得到(y﹣1)2﹣2y(y﹣1)=0，然后利用因式分解法解方程.

　　【解答】解：(1)△=(﹣4)2﹣4×2×(﹣5)=56，

　　x= = ，

　　所以x1= ，x2= ;

　　(2)x2﹣4x+4=3，

　　(x﹣2)2=3，

　　x﹣2=± ，

　　所以x1=2+ ，x2=2﹣ ;

　　(3)(y﹣1)2﹣2y(y﹣1)=0，

　　(y﹣1)(y﹣1﹣2y)=0，

　　y﹣1=0或y﹣1﹣2y=0，

　　所以y1=1，y2=﹣1.

　　【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了(數(shù)學轉化思想).也考查了配方法和公式法解一元二次方程.

　　18.試說明不論x，y取何值，代數(shù)式x2+y2+6x﹣4y+15的值總是正數(shù).

　　【考點】配方法的應用;非負數(shù)的性質：偶次方.

　　【分析】此題考查了配方法求最值，此題可化為2個完全平方式與一個常數(shù)的和的形式.

　　【解答】解：將原式配方得，

　　(x﹣2)2+(y+3)2+2，

　　∵它的值總不小于2;

　　∴代數(shù)式x2+y2+6x﹣4y+15的值總是正數(shù).

　　【點評】此題考查了配方法的應用，解題的關鍵是認真審題，準確配方.

　　19.已知實數(shù)，滿足a2+a﹣2=0，求 的值.

　　【考點】分式的化簡求值;解一元二次方程-因式分解法.

　　【專題】計算題.

　　【分析】先解關于a的一元二次方程，求出a的值，并把所給的分式化簡，然后把a的值代入化簡后的式子計算就可以了.

　　【解答】解：原式=

　　=

　　= ，

　　∵a2+a﹣2=0，

　　∴a1=1，a2=﹣2，

　　∵a1=1時，分母=0，

　　∴a1=1(舍去)，

　　當a2=﹣2，原式= =2.

　　【點評】這是關于分式化簡求值的問題，注意解出a的值必須保證分式有意義，才能代入計算.

　　20.在實數(shù)范圍內定義一種新運算“△”，其規(guī)則為：a△b=a2﹣b2，根據(jù)這個規(guī)則：

　　(1)求4△3的值;

　　(2)求(x+2)△5=0中x的值.

　　【考點】解一元二次方程-直接開平方法.

　　【專題】新定義.

　　【分析】(1)根據(jù)規(guī)則為：a△b=a2﹣b2，代入相應數(shù)據(jù)可得答案;

　　(2)根據(jù)公式可得(x+2)△5=(x+2)2﹣52=0，再利用直接開平方法解一元二次方程即可.

　　【解答】解：(1)4△3=42﹣32=16﹣9=7;

　　(2)由題意得(x+2)△5=(x+2)2﹣52=0，

　　(x+2)2=25，

　　兩邊直接開平方得：x+2=±5，

　　x+2=5，x+2=﹣5，

　　解得：x1=3，x2=﹣7.

　　【點評】此題主要考查了直接開平方法解一元二次方程，解這類問題要移項，把所含未知數(shù)的項移到等號的左邊，把常數(shù)項移項等號的右邊，化成x2=a(a≥0)的形式，利用數(shù)的開方直接求解.

　　21.已知關于x的方程2x2﹣mx﹣2m+1=0的兩根x1，x2，且x12+x22= ，試求m的值.

　　【考點】根與系數(shù)的關系.

　　【分析】首先根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)得到兩根之和和兩根之積，然后把x12+x22轉換為(x1+x2)2﹣2x1x2，然后利用前面的等式即可得到關于m的方程，解方程即可求出結果.

　　【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣mx﹣2m+1=0的兩個實數(shù)根，

　　∴x1+x2= m，x1x2= (﹣2m+1)，

　　∵x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2= ，

　　∴ m2﹣2× (﹣2m+1)= ，

　　解得：m1=3，m2=﹣11，

　　又∵方程x2﹣mx+2m﹣1=0有兩個實數(shù)根，

　　∴△=m2﹣4×2×(﹣2m+1)≥0，

　　∴當m=﹣11時，

　　△=﹣73<0，舍去;

　　故符合條件的m的值為m=3.

　　【點評】此題主要考查了根與系數(shù)的關系，將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法.通過變形可以得到關于待定系數(shù)的方程解決問題.

　　22.如圖所示，在長和寬分別是a、b的矩形紙片的四個角都剪去一個邊長為x的正方形.

　　(1)用a，b，x表示紙片剩余部分的面積;

　　(2)當a=6，b=4，且剪去部分的面積等于剩余部分的面積時，求正方形的邊長.

　　【考點】一元二次方程的應用.

　　【專題】幾何圖形問題.

　　【分析】(1)邊長為x的正方形面積為x2，矩形面積減去4個小正方形的面積即可.

　　(2)依據(jù)剪去部分的面積等于剩余部分的面積，列方程求出x的值即可.

　　【解答】解：(1)ab﹣4x2;

　　(2)依題意有：ab﹣4x2=4x2，

　　將a=6，b=4，代入上式，得x2=3，

　　解得x1= ，x2=﹣ (舍去).

　　即正方形的邊長為

　　【點評】本題是利用方程解答幾何問題，充分體現(xiàn)了方程的應用性.

　　依據(jù)等量關系“剪去部分的面積等于剩余部分的面積”，建立方程求解.

　　23.某水果批發(fā)商場銷售一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經市場調查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下.若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克.

　　(1)現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應漲價多少元?

　　(2)每千克水果漲價多少元時，商場每天獲得的利潤最大?獲得的最大利潤是多少元?

　　【考點】二次函數(shù)的應用;一元二次方程的應用.

　　【分析】(1)關鍵是根據(jù)題意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根據(jù)題意確定其值.

　　(2)根據(jù)題意列出二次函數(shù)解析式，然后轉化為頂點式，最后求其最值.

　　【解答】解：(1)設每千克應漲價x元，由題意，得

　　(10+x)(500﹣20x)=6000，

　　整理，得 x2﹣15x+50=0，

　　解得：x=5或x=10，

　　∴為了使顧客得到實惠，所以x=5.

　　(2)設漲價x元時總利潤為y，由題意，得

　　y=10+x)(500﹣20x)

　　y=﹣20x2+300x+5 000

　　y=﹣20(x﹣7.5)2+6125

　　∴當x=7.5時，y取得最大值，最大值為6125元.

　　答：(1)要保證每天盈利6000元，同時又使顧客得到實惠，那么每千克應漲價5元;

　　(2)若該商場單純從經濟角度看，每千克這種水果漲價7.5元，能使商場獲利最多為6125元.

　　【點評】考查了二次函數(shù)的應用，求二次函數(shù)的最大(小)值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，常用的是后兩種方法，當二次系數(shù)a的絕對值是較小的整數(shù)時，用配方法較好，如y=﹣x2﹣2x+5，y=3x2﹣6x+1等用配方法求解比較簡單.

一元二次方程初三數(shù)學單元試題附答案詳解相關