一元二次方程初三數學單元試題

　　2.若關于x的一元二次方程x2+5x+m2﹣1=0的常數項為0，則m等于(　　)

　　A.1 B.2 C.1或﹣1 D.0

　　3.已知x=1是一元二次方程x2+mx+2=0的一個解，則m的值是(　　)

　　A.﹣3 B.3 C.0 D.0或3

　　4.若關于x的一元二次方程為ax2+bx+5=0(a≠0)的解是x=1，則2015﹣a﹣b的值是(　　)

　　A.2020 B.2008 C.2014 D.2012

　　5.關于x的方程(2﹣a)x2+5x﹣3=0有實數根，則整數a的最大值是(　　)

　　A.1 B.2 C.3 D.4

　　6.用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5時，此方程可變形為(　　)

　　A.(x+2)2=1 B.(x﹣2)2=1 C.(x+2)2=9 D.(x﹣2)2=9

　　7.已知函數y=kx+b的圖象如圖所示，則一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情況是(　　)

　　A.沒有實數根 B.有兩個相等的實數根

　　C.有兩個不相等的實數根 D.無法確定

　　8.在某次聚會上，每兩人都握了一次手，所有人共握手10次，設有x人參加這次聚會，則列出方程正確的是(　　)

　　A.x(x﹣1)=10 B. =10 C.x(x+1)=10 D. =10

　　9.某中學準備建一個面積為375m2的矩形游泳池，且游泳池的寬比長短10m.設游泳池的長為xm，則可列方程(　　)

　　A.x(x﹣10)=375 B.x(x+10)=375 C.2x(2x﹣10)=375 D.2x(2x+10)=375

　　10.如圖是某月的日歷表，在此日歷表上可以用一個矩形圈出3×3個位置相鄰的9個數(如6，7，8，13，14，15，20，21，22).若圈出的9個數中，最大數與最小數的積為192，則這9個數的和為(　　)

　　A.32 B.126 C.135 D.144

　　二、填空題

　　11.一元二次方程x2﹣3=0的根為　　　　　　.

　　12.如果(x2+y2)(x2+y2﹣2)=3，則x2+y2的值是　　　　　　.

　　13.已知x1，x2是一元二次方程x2+6x+3=0兩個實數根，則 的值為　　　　　　.

　　14.已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的兩個根，則 + 等于　　　　　　.

　　15.若x1，x2是方程3x2﹣|x|﹣4=0的兩根，則 =　　　　　　.

　　16.為解決群眾看病難的問題，一種藥品連續兩次降價，每盒的價格由原來的60元降至48.6元，則平均每次降價的百分率為　　　　　　%.

　　三、解答題(共52分)

　　17.解下列方程：

　　(1)2x2﹣4x﹣5=0.

　　(2)x2﹣4x+1=0.

　　(3)(y﹣1)2+2y(1﹣y)=0.

　　18.試說明不論x，y取何值，代數式x2+y2+6x﹣4y+15的值總是正數.

　　19.已知實數，滿足a2+a﹣2=0，求 的值.

　　20.在實數范圍內定義一種新運算“△”，其規則為：a△b=a2﹣b2，根據這個規則：

　　(1)求4△3的值;

　　(2)求(x+2)△5=0中x的值.

　　21.已知關于x的方程2x2﹣mx﹣2m+1=0的兩根x1，x2，且x12+x22= ，試求m的值.

　　22.如圖所示，在長和寬分別是a、b的矩形紙片的四個角都剪去一個邊長為x的正方形.

　　(1)用a，b，x表示紙片剩余部分的面積;

　　(2)當a=6，b=4，且剪去部分的面積等于剩余部分的面積時，求正方形的邊長.

　　23.某水果批發商場銷售一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經市場調查發現，在進貨價不變的情況下.若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克.

　　(1)現該商場要保證每天盈利6000元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應漲價多少元?

　　(2)每千克水果漲價多少元時，商場每天獲得的利潤最大?獲得的最大利潤是多少元?

　　一元二次方程初三數學單元試題答案

　　【考點】一元二次方程的定義.

　　【分析】本題根據一元二次方程的定義求解.一元二次方程必須滿足兩個條件：

　　(1)未知數的最高次數是2;

　　(2)二次項系數不為0.由這兩個條件得到相應的關系式，再求解即可.

　　【解答】解：由題意得：

　　a2﹣1≠0，

　　解得a≠±1.

　　故選C.

　　【點評】本題利用了一元二次方程的概念.只有一個未知數且未知數最高次數為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).特別要注意a≠0的條件.這是在做題過程中容易忽視的知識點.

　　2.若關于x的一元二次方程x2+5x+m2﹣1=0的常數項為0，則m等于(　　)

　　A.1 B.2 C.1或﹣1 D.0

　　【考點】一元二次方程的一般形式.

　　【專題】計算題.

　　【分析】根據常數項為0列出關于m的方程，求出方程的解即可得到m的值.

　　【解答】解：∵x2+5x+m2﹣1=0的常數項為0，

　　∴m2﹣1=0，

　　解得：m=1或﹣1.

　　故選C

　　【點評】此題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a，b，c是常數且a≠0)特別要注意a≠0的條件.這是在做題過程中容易忽視的知識點.在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數項.其中a，b，c分別叫二次項系數，一次項系數，常數項.

　　3.已知x=1是一元二次方程x2+mx+2=0的一個解，則m的值是(　　)

　　A.﹣3 B.3 C.0 D.0或3

　　【考點】一元二次方程的解.

　　【分析】直接把x=1代入已知方程就得到關于m的方程，再解此方程即可.

　　【解答】解：∵x=1是一元二次方程x2+mx+2=0的一個解，

　　∴1+m+2=0，

　　∴m=﹣3.故選A.

　　【點評】此題比較簡單，利用方程的解的定義即可確定待定系數.

　　4.若關于x的一元二次方程為ax2+bx+5=0(a≠0)的解是x=1，則2015﹣a﹣b的值是(　　)

　　A.2020 B.2008 C.2014 D.2012

　　【考點】一元二次方程的解.

　　【分析】將x=1代入到ax2+bx+5=0中求得a+b的值，然后求代數式的值即可.

　　【解答】解：∵x=1是一元二次方程ax2+bx+5=0的一個根，

　　∴a•12+b•1+5=0，

　　∴a+b=﹣5，

　　∴2015﹣a﹣b=2013﹣(a+b)=2015﹣(﹣5)=2020.

　　故選：A.

　　【點評】此題主要考查了一元二次方程的解，解題的關鍵是把已知方程的根直接代入方程得到待定系數的方程即可求得代數式a+b的值.

　　5.關于x的方程(2﹣a)x2+5x﹣3=0有實數根，則整數a的最大值是(　　)

　　A.1 B.2 C.3 D.4

　　【考點】根的判別式;一元一次不等式組的整數解.

　　【分析】由于關于x的方程(2﹣a)x2+5x﹣3=0有實數根，分情況討論：

　　①當2﹣a=0即a=2時，此時方程為一元一次方程，方程一定有實數根;

　?、诋?﹣a≠0即a≠2時，此時方程為一元二次方程，如果方程有實數根，那么其判別式是一個非負數，由此可以確定整數a的最大值.

　　【解答】解：∵關于x的方程(2﹣a)x2+5x﹣3=0有實數根，

　　∴①當2﹣a=0即a=2時，此時方程為一元一次方程，方程一定有實數根;

　　②當2﹣a≠0即a≠2時，此時方程為一元二次方程，

　　如果方程有實數根，那么其判別式是一個非負數，

　　∴△=25+12(2﹣a)≥0，

　　解之得a≤ ，

　　∴整數a的最大值是4.

　　故選D.

　　【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式的應用.一元二次方程根的情況與判別式△的關系：

　　(1)△>0⇔方程有兩個不相等的實數根;

　　(2)△=0⇔方程有兩個相等的實數根;

　　(3)△<0⇔方程沒有實數根.

　　注意次方程應分是一元二次方程與不是一元二次方程兩種情況進行討論.

　　6.用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5時，此方程可變形為(　　)

　　A.(x+2)2=1 B.(x﹣2)2=1 C.(x+2)2=9 D.(x﹣2)2=9

　　【考點】解一元二次方程-配方法.

　　【專題】配方法.

　　【分析】配方法的一般步驟：

　　(1)把常數項移到等號的右邊;

　　(2)把二次項的系數化為1;

　　(3)等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方.

　　選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數為1，一次項的系數是2的倍數.

　　【解答】解：∵x2﹣4x=5，∴x2﹣4x+4=5+4，∴(x﹣2)2=9.故選D.

　　【點評】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確應用.

　　7.已知函數y=kx+b的圖象如圖所示，則一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情況是(　　)

　　A.沒有實數根 B.有兩個相等的實數根

　　C.有兩個不相等的實數根 D.無法確定

　　【考點】根的判別式;一次函數圖象與系數的關系.

　　【分析】先根據函數y=kx+b的圖象可得;k<0，再根據一元二次方程x2+x+k﹣1=0中，△=12﹣4×1×(k﹣1)=5﹣4k>0，即可得出答案.

　　【解答】解：根據函數y=kx+b的圖象可得;k<0，b<0，

　　則一元二次方程x2+x+k﹣1=0中，△=12﹣4×1×(k﹣1)=5﹣4k>0，

　　則一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情況是有兩個不相等的實數根，

　　故選：C.

　　【點評】此題考查了一元二次方程根的判別式，用到的知識點是一次函數圖象的性質，關鍵是根據函數圖象判斷出△的符號.

　　8.在某次聚會上，每兩人都握了一次手，所有人共握手10次，設有x人參加這次聚會，則列出方程正確的是(　　)

　　A.x(x﹣1)=10 B. =10 C.x(x+1)=10 D. =10

　　【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.

　　【專題】其他問題;壓軸題.

　　【分析】如果有x人參加了聚會，則每個人需要握手(x﹣1)次，x人共需握手x(x﹣1)次;而每兩個人都握了一次手，因此要將重復計算的部分除去，即一共握手： 次;已知“所有人共握手10次”，據此可列出關于x的方程.

　　【解答】解：設x人參加這次聚會，則每個人需握手：x﹣1(次);

　　依題意，可列方程為： =10;

　　故選B.

　　【點評】理清題意，找對等量關系是解答此類題目的關鍵;需注意的是本題中“每兩人都握了一次手”的條件，類似于球類比賽的單循環賽制.

　　9.某中學準備建一個面積為375m2的矩形游泳池，且游泳池的寬比長短10m.設游泳池的長為xm，則可列方程(　　)

　　A.x(x﹣10)=375 B.x(x+10)=375 C.2x(2x﹣10)=375 D.2x(2x+10)=375

　　【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.

　　【專題】幾何圖形問題.

　　【分析】如果設游泳池的長為xm，那么寬可表示為(x﹣10)m，根據面積為375，即可列出方程.

　　【解答】解：設游泳池的長為xm，那么寬可表示為(x﹣10)m;

　　則根據矩形的面積公式：x(x﹣10)=375;

　　故選A.

　　【點評】本題可根據矩形面積=長×寬，找出關鍵語來列出方程.

　　10.如圖是某月的日歷表，在此日歷表上可以用一個矩形圈出3×3個位置相鄰的9個數(如6，7，8，13，14，15，20，21，22).若圈出的9個數中，最大數與最小數的積為192，則這9個數的和為(　　)

　　A.32 B.126 C.135 D.144

　　【考點】一元二次方程的應用.