2.二進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算

　　對二進(jìn)制數(shù)有兩種不同類型的運(yùn)算處理:算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算。

　　3.不同進(jìn)位制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換

　　十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制整數(shù)可以采取“除以2取余法”。

　　十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制小數(shù)，可以采取“乘以2取整法”，把給定的十進(jìn)制小數(shù)不斷乘以2，取乘積的整數(shù)部分作為二進(jìn)制小數(shù)的最高位，然后把乘積小數(shù)部分再乘以2，取乘積的整數(shù)部分，得到二進(jìn)制小數(shù)的第二位，重復(fù)上述過程，就可以得到希望的位數(shù)，有時(shí)得到的是近似值。八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)的方法很簡單，只要把每一個(gè)八進(jìn)制數(shù)字改寫成等值的3位二進(jìn)制數(shù)即可，且保持高、低位的次序不變。八進(jìn)制數(shù)字與二進(jìn)制數(shù)的對應(yīng)關(guān)系如下:

　　(0)8 =000 (1)8 =001 (2)8 =010 (3)8 =011

　　(4)8 =100 (5)8 =101 (6)8 =110 (7)8 =111

　　十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)的方法與八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)的方法類似，只要把每一個(gè)十六進(jìn)制數(shù)字改寫成等值的4位二進(jìn)制數(shù)即可，且保持高、低位的次序不變。十六進(jìn)制數(shù)字與二進(jìn)制數(shù)的對應(yīng)關(guān)系如下:

　　(0)16 =0000 (1)16 =0001 (2)16 =0010 (3)16 =0011

　　(4)16 =0100 (5)16 =0101 (6)16 =0110 (7)16 =0111

　　(8)16 =1000 (9)16 =1001 (A)16 =1010 (B)16 =1011

　　(C)16 =1100 (D)16 =1101 (E)16 =1110 (F)16 =1111

　　二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)，整數(shù)部分從低位向高位方向每3位用一個(gè)等值的八進(jìn)制數(shù)來替換，最后不足3位時(shí)在高位補(bǔ)0湊滿3位;小數(shù)部分從高位向低位方向每3位用一個(gè)等值的十六進(jìn)制數(shù)來替換，最后不足3位時(shí)在低位補(bǔ)0湊滿3位。

　　二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制數(shù)，整數(shù)部分從低位向高位方向每4位用一個(gè)等值的十六進(jìn)制數(shù)來替換，最后不足4位時(shí)在高位補(bǔ)0湊滿4位;小數(shù)部分從高位向低位方向每4位用一個(gè)等值的十六進(jìn)制數(shù)來替換，最后不足4位時(shí)在低位補(bǔ)0湊滿4位。

　　二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制數(shù)、十六進(jìn)制數(shù)有很簡單、直觀的對應(yīng)關(guān)系。二進(jìn)制數(shù)太長，書寫、閱讀、記憶均不方便;八進(jìn)制、十六進(jìn)制卻像十進(jìn)制數(shù)一樣簡練，易寫易記。必須注意，計(jì)算機(jī)中只使用二進(jìn)制一種計(jì)數(shù)制，并不使用其他計(jì)數(shù)制，但為了開發(fā)程序、調(diào)試程序、閱讀機(jī)器內(nèi)部代碼時(shí)的方便，人們經(jīng)常使用八進(jìn)制或十六進(jìn)制來等價(jià)地表示二進(jìn)制，所以大家也必須熟練地掌握八進(jìn)制和十六進(jìn)制。

　　4.二進(jìn)制信息的計(jì)量單位

　　二進(jìn)制的每一位(即“0”或“1”)是組成二進(jìn)制信息的最小單位，稱為1個(gè)“比特”(bit)，或稱“位元”，簡稱“位”，一般用小寫的字母“b”表示。比特是計(jì)算機(jī)中處理、存儲(chǔ)、傳輸信息的最小單位。

　　另一種稍大些的二進(jìn)制信息的計(jì)量單位是“字節(jié)”(Byte)，也稱“位組”，一般用大寫字母“B”表示。一個(gè)字節(jié)等于8個(gè)比特。

　　在信息處理系統(tǒng)中，使用各種不同的存儲(chǔ)器來存儲(chǔ)二進(jìn)制信息時(shí)，使用的度量單位是比字節(jié)或字大得多，經(jīng)常使用的單位有:

　　“千字節(jié)”(KB)，1KB=2 10 字節(jié)=1024B

　　“兆字節(jié)”(MB)，1MB=2 20 字節(jié)=1024KB

　　“吉字節(jié)”(GB)，1GB=2 30 字節(jié)=1024MB(千兆字節(jié))“太字節(jié)”(TB)，1TB=2 40 字節(jié)=1024GB(兆兆字節(jié))

　　在網(wǎng)絡(luò)中傳輸二進(jìn)制信息時(shí)，由于是一位一位串行傳輸?shù)模瑐鬏斔俾实亩攘繂挝慌c上述單位有所不同，且使用的是十進(jìn)制。經(jīng)常使用的速度單位有:

　　“比特/秒”(b/s)，有時(shí)也稱“bps”。如2400bps(2400b/s)，9600bps(9600b/s)等。

　　“千比特/秒”(kb/s)，1kb/s=10 3 比特/秒=1000b/s

　　“兆比特/秒”(Mb/s)，1Mb/s=10 6 比特/秒=1000kb/s

　　“吉比特/秒”(Gb/s)，1Gb/s=10 9 比特/秒=1000Mb/s

　　“太比特/秒”(Tb/s)，1Tb/s=10 12 比特/秒=1000Gb/s

　　在計(jì)算機(jī)內(nèi)部對二進(jìn)制信息進(jìn)行運(yùn)算和處理時(shí)，使用的單位除了位(比特)和字節(jié)之外，還經(jīng)常使用“字”作為單位。以80x86或Pentium微處理器為例，處理器可直接進(jìn)行操作處理的數(shù)據(jù)單位有5種:位(dit)、字節(jié)(Byte)、字(Word)、雙字(DoubleWord)和四字(QuadWord)。

　　(二)數(shù)值信息在計(jì)算機(jī)內(nèi)的表示1.整數(shù)(定點(diǎn)數(shù))的表示

　　整數(shù)不使用小數(shù)點(diǎn)，所以它也叫做“定點(diǎn)數(shù)”。計(jì)算機(jī)中的整數(shù)分為兩類:不帶符號(hào)的整數(shù)(Unsigned Integer)，帶符號(hào)的整數(shù)(Signed Integer)。

　　不帶符號(hào)的整數(shù)常用于表示地址等正整數(shù)，它們可以是8位、16位甚至32位。8個(gè)二進(jìn)位表示的正整數(shù)其取值范是0～255(2 8 -1)，16個(gè)二進(jìn)位表示的正整數(shù)其取值范是0～65535(2 16 -1)，32個(gè)二進(jìn)位表示的正整數(shù)其取值范是0～2 32 -1。

　　帶符號(hào)的整數(shù)必須使用一個(gè)二進(jìn)位作為其符號(hào)位，一般總是最高位(最左面的一位)，“0”表示“+”(正數(shù))，“1”表示“-”(負(fù)數(shù))，其余各位則用來表示數(shù)值的大小。

　　為了內(nèi)部運(yùn)算處理方便，負(fù)整數(shù)在計(jì)算機(jī)內(nèi)不止一種表示方法。上面的表示法稱為“原碼”，另外的兩種方法分別叫做“反碼”和“補(bǔ)碼”。

　　負(fù)數(shù)使用反碼表示時(shí)，符號(hào)位仍為“1”，但絕對值部分卻正好與原碼相反(“0”變?yōu)?ldquo;1”，“1”變?yōu)?ldquo;0”)。

　　負(fù)數(shù)使用補(bǔ)碼表示時(shí)，符號(hào)位也是“1”，但絕對值部分卻是反碼的個(gè)位加“1”后所得到的結(jié)果。注意:正整數(shù)無論采用原碼、反碼還是補(bǔ)碼表示，其編碼都是相同的，并無區(qū)別。

　　還有一種整數(shù)也經(jīng)常在計(jì)算機(jī)內(nèi)使用，稱為“二進(jìn)制編碼的十進(jìn)制”整數(shù)(Binary Coded Decimal，簡稱BCD整數(shù))，它使用4個(gè)二進(jìn)位表示1個(gè)十進(jìn)制數(shù)字，符號(hào)的表示仍與上相同。

　　2.實(shí)數(shù)(浮點(diǎn)數(shù))的表示

　　實(shí)數(shù)也叫浮點(diǎn)數(shù)，因?yàn)樗男?shù)點(diǎn)位置不固定。

　　一個(gè)實(shí)數(shù)總可以表達(dá)成一個(gè)純小數(shù)和一個(gè)乘冪之積。

　　任意一個(gè)實(shí)數(shù)，在計(jì)算機(jī)內(nèi)部都可以用“指數(shù)”(這是整數(shù))和“尾數(shù)”(這是純小數(shù))來表示，這種用指數(shù)和尾數(shù)表示實(shí)數(shù)的方法叫做“浮點(diǎn)表示法”。所以，在計(jì)算機(jī)中實(shí)數(shù)也叫做“浮點(diǎn)數(shù)”，而整數(shù)則叫做“定點(diǎn)數(shù)”。

　　由于指數(shù)可以選用不同的編碼(原碼、補(bǔ)碼等)，尾數(shù)的格式和小數(shù)點(diǎn)位置也可以有不同規(guī)定，因此，浮點(diǎn)數(shù)的表示方法不是惟一的。不同計(jì)算機(jī)可以有不同的規(guī)定，這就引起了相互間數(shù)據(jù)格式的不兼容性。為此，美國電氣與電子工程師協(xié)會(huì)(IEEE)制訂了有關(guān)浮點(diǎn)數(shù)表示的工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)IEEE754，已被當(dāng)代所有各類處理器采用。

　　浮點(diǎn)數(shù)的長度可以是32位、64位甚至更長，位數(shù)越多，可表示的數(shù)值的范圍越大，精度也越高。

　　(三)整數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算1.整數(shù)補(bǔ)碼表示的數(shù)學(xué)意義

　　無符號(hào)二進(jìn)制整數(shù)的原碼，其編碼與數(shù)值之間的關(guān)系如下。

　　設(shè)K n Kn-1 …K1 K0是一個(gè)無符號(hào)二進(jìn)制整數(shù)，S是它相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)值，則

　　S=Kn ×2 n +Kn-1 ×2n-1 +…+K1 ×21 +K0 ×2 0

　　其中的Kj(j=n，n-1，…1，0)只能為0或1，Kn 是最高位，K0 是最低位(個(gè)位)。

　　Kn Kn-1 …K1 K0 用來表示帶符號(hào)整數(shù)時(shí)，Kn 是符號(hào)位，Kn-1 …K1 K0 則為數(shù)值位。若Kn Kn-1 …K1 K0 表示的是原碼編碼的整數(shù)，則十進(jìn)制數(shù)值S與編碼的關(guān)系是:

　　S=Kn-1 ×2n-1 +…+K1×2 1 +K0 ×2 0 (當(dāng)Kn =0)

　　S=-(Kn-1 ×2 n-1 +…+K 1 ×2 1 +K0 ×20 )

　　(當(dāng)Kn =1)

　　但是，如果Kn n-1 …K1 K0 表示的是補(bǔ)碼編碼的整數(shù)時(shí)，不論符號(hào)位K n 如何，十進(jìn)制數(shù)值S與編碼的關(guān)系可以統(tǒng)一地表示成為:

　　S=Kn ×(-2n )+Kn-1 ×2n-1 +…+K1 ×21 +K0 ×20 采用補(bǔ)碼表示的n位二進(jìn)制帶符號(hào)整數(shù)的有效范圍是: -2n-1 ≤S≤2n-1 -1

　　計(jì)算機(jī)在整數(shù)運(yùn)算過程中，若結(jié)果超出此允許范圍，則稱為發(fā)生“溢出”。

　　2.整數(shù)的算術(shù)、邏輯運(yùn)算

　　(1)不同長度整數(shù)之間的轉(zhuǎn)換

　　一般而言，短整數(shù)可以轉(zhuǎn)換成長整數(shù)表示，而反過來卻不行。短整數(shù)轉(zhuǎn)換成長整數(shù)表示的方法是:把符號(hào)位向左擴(kuò)充至所需要的長度為止。

　　(2)整數(shù)的變號(hào)操作

　　所謂“變號(hào)操作”是指將該整數(shù)變成絕對值相同但符號(hào)相反的另一個(gè)整數(shù)。變號(hào)操作又叫“取負(fù)”運(yùn)算，它的處理方法是:將該整數(shù)的每一個(gè)二進(jìn)位變反，然后在最末位(個(gè)位)加1，其結(jié)果即為所求值。

　　(3)整數(shù)的移位操作

　　移位操作有多種，按照移位方向來分，移位操作可分成左移、右移兩大類;按照操作性質(zhì)則又可區(qū)分為算術(shù)移位、邏輯移位和循環(huán)移位等不同類型。它們有些只對整數(shù)進(jìn)行，有些則可以對任何二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行。

　　(4)邏輯運(yùn)算

　　邏輯運(yùn)算(又叫布爾運(yùn)算)總是按位進(jìn)行處理的，即對應(yīng)位之間進(jìn)行規(guī)定的邏輯運(yùn)算，不考慮位與位之間的進(jìn)位。常用的基本邏輯運(yùn)算有4種:“非”運(yùn)算(NOT)、“或”運(yùn)算(OR)、“與”運(yùn)算(AND)、“按位加”運(yùn)算(XOR)，它們都非常簡單。

　　(5)整數(shù)加法

　　兩個(gè)帶符號(hào)整數(shù)相加的運(yùn)算方法很簡單，只需從低位到高位把所有位(包括符號(hào)位)相加，逢2進(jìn)1，最高位產(chǎn)生的進(jìn)位忽略不計(jì)。

　　(6)整數(shù)減法

　　兩個(gè)帶符號(hào)整數(shù)相減的運(yùn)算方法也很簡單，只需先把減數(shù)變號(hào)，然后再與被減數(shù)相加即可。

　　(7)整數(shù)乘法

　　兩個(gè)無符號(hào)整數(shù)的乘法很簡單，它與日常用紙和筆進(jìn)行乘法幾乎沒有什么不同。

　　(8)整數(shù)除法

　　對于補(bǔ)碼表示的兩個(gè)帶符號(hào)整數(shù)，其除法運(yùn)行比乘法還要復(fù)雜一些。下面是算法的簡單描述(假設(shè)被除數(shù)和除數(shù)都是n位):

　　①把除數(shù)(補(bǔ)碼)放入寄存器M，把被除數(shù)從n位擴(kuò)展成2n位長的補(bǔ)碼后放入寄存器A和Q，高位部分放入A(全0或全1)，低位部分放入Q。②把寄存器A和Q向左移1位。

　　③如果A和M同號(hào)，執(zhí)行A=A-M，否則執(zhí)行A=A+M。

　　④執(zhí)行上一步操作的前后，若A的符號(hào)保持不變，或者A和Q(高位部分)的結(jié)果都是0，則操作成功，令Q0 =1;否則操作不成功，恢復(fù)A原來的內(nèi)容，并令Q0 =0。⑤重復(fù)上述步驟②～④共n次，結(jié)束。

　　除法結(jié)束后，寄存器A中存放的是余數(shù)，寄存器Q中是得到的商。若被除數(shù)與除數(shù)異號(hào)，則商為負(fù)數(shù)，所以應(yīng)再對Q取補(bǔ)。不論何種情況，被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)總滿足下面的公式:被除數(shù)=商×除數(shù)+余數(shù)

　　(四)實(shí)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算1.實(shí)數(shù)(浮點(diǎn)數(shù))的性質(zhì)

　　下表所示是Pentium微處理器中32位浮點(diǎn)數(shù)和64位浮點(diǎn)數(shù)的一些性質(zhì)。

　　32位浮點(diǎn)數(shù) 64位浮點(diǎn)數(shù)

　　符號(hào) 階碼 尾數(shù) 數(shù)值

　　符號(hào) 階碼

　　尾數(shù) 數(shù)值

　　+0 0 全0 全0 0 0 全0 全0 0

　　-1 1 全0 全0 0 1 全0 全0 0

　　+∞ 0 全1 全0 +∞ 0 全1 全0 +∞

　　-∞ 1 全1 全0 -∞ 1 全1 全0 -∞

　　規(guī)格化的

　　非0正實(shí)數(shù) 0 0

　　(1.f)

　　規(guī)格化的

　　非0負(fù)實(shí)數(shù) 1 0

　　非規(guī)格化的

　　非0正實(shí)數(shù) 0 0 f≠0 2 -126 (0.f) 0 0 f≠0 2 -1022

　　(0.f)

　　非規(guī)格化的非0負(fù)實(shí)數(shù) 1 0 f≠0 -2 -126 (0.f) 1 0 f≠0 -2 -1022

　　(1.f)

　　2.實(shí)數(shù)(浮點(diǎn)數(shù))的四則運(yùn)算

　　浮點(diǎn)數(shù)的加、減運(yùn)算要比定點(diǎn)數(shù)(整數(shù))復(fù)雜得多。下面只做簡要介紹。

　　設(shè)浮點(diǎn)數(shù) A=As ×2Ea ，B=Bs ×2Eb 則

　　和數(shù) C=(As ×2Ea-Eb+Bs )×2Eb ，差 D=(As ×2Ea -Eb -Bs )×2Eb(若Ea ≤Eb )

　　或者:

　　和數(shù) C=(As ×Bs ×2Eb -Eb )×2Ea ，差 D=(As -Bs ×2Eb -Ea )×2Ea (若Ea >Eb )一般說來，浮點(diǎn)數(shù)的加、減運(yùn)算有如下幾個(gè)步驟:

　　(1)檢測A和B中有無0，若A=0，則C=B，若B=0，則C=A。運(yùn)算結(jié)束。

　　(2)計(jì)算兩數(shù)階碼之差，即d=Ea -Eb ，若d>0，則將尾數(shù)Bs 向右移d位，若d<0，則將尾數(shù)A s 向右移-d位，若d=0，則As 和Bs 均不移位。這個(gè)過程叫做“對階”。

　　(3)兩尾數(shù)相加或相減。

　　(4)把結(jié)果進(jìn)行規(guī)格化。對于Pentium微處理器來說，若結(jié)果尾數(shù)絕對值小于1，則尾數(shù)不斷左移且階碼不斷減1，直至尾數(shù)絕對值大于或等于1;若結(jié)果尾數(shù)絕對值大于或等于2，則尾數(shù)右移1位且階碼加1。

　　注意:兩浮點(diǎn)數(shù)加/減時(shí)，在結(jié)果規(guī)格化的過程中，可能會(huì)發(fā)生“上溢”或“下溢”。浮點(diǎn)數(shù)的乘/除法比加/減法稍簡單一些，其公式為:

　　乘積=(As ×Bs )×2Ea +Eb 商=(As /Bs )×2Ea +Eb 處理過程如下:

　　(1)檢測A和B中有無0，若AS =0，則乘積(商)=0，運(yùn)算結(jié)束;若BS =0，乘法時(shí)乘積=0，除法時(shí)商為∞，運(yùn)算結(jié)束

　　(2)計(jì)算兩數(shù)階碼之和(或差)。(3)兩尾數(shù)相乘或相除。

　　(4)把結(jié)果進(jìn)行規(guī)格化。即，若結(jié)果尾數(shù)絕對值小于1，則尾數(shù)不斷左移且階碼不斷減1;若結(jié)果尾數(shù)絕對值大于或等于2，則尾數(shù)右移且階碼加1。

　　注意:兩浮點(diǎn)數(shù)乘/除時(shí)，在階碼相加(減)的過程中，或者在結(jié)果規(guī)格化的過程中，可能會(huì)發(fā)生“上溢”或“下溢”。

　　浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算過程中，為了保證浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算的精度，當(dāng)尾數(shù)右移時(shí)，對移出的位還需進(jìn)行“舍入”處理。