★【速算技巧四：化同法】

　　要點(diǎn)：所謂"化同法"，是指"在比較兩個(gè)分?jǐn)?shù)大小時(shí)，將這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子或分母化為相同或相近，從而達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算"的速算方式。一般包括三個(gè)層次：

　　一、 將分子(或分母)化為完全相同，從而只需要再看分母(或分子)即可;

　　二、 將分子(或分母)化為相近之后，出現(xiàn)"某一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母較大而分子較小"或

　　"某一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母較小而分子較大"的情況，則可直接判斷兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小。

　　三、 將分子(或分母)化為非常接近之后，再利用其它速算技巧進(jìn)行簡(jiǎn)單判定。

　　事實(shí)上在資料分析試題當(dāng)中，將分子(或分母)化為完全相同一般是不可能達(dá)到的，所以化同法更多的是"化為相近"而非"化為相同"。

　　★【速算技巧五：差分法】

　　“差分法”是在比較兩個(gè)分?jǐn)?shù)大小時(shí)，用“直除法”或者“化同法”等其他速算方式難以解決時(shí)可以采取的一種速算方式。

　　適用形式：

　　兩個(gè)分?jǐn)?shù)作比較時(shí)，若其中一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母都比另外一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母分別僅僅大一點(diǎn)，這時(shí)候使用“直除法”、“化同法”經(jīng)常很難比較出大小關(guān)系，而使用“差分法”卻可以很好地解決這樣的問(wèn)題。

　　基礎(chǔ)定義：

　　在滿(mǎn)足“適用形式”的兩個(gè)分?jǐn)?shù)中，我們定義分子與分母都比較大的分?jǐn)?shù)叫“大分?jǐn)?shù)”，分子與分母都比較小的分?jǐn)?shù)叫“小分?jǐn)?shù)”，而這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母 分別做差得到的新的分?jǐn)?shù)我們定義為“差分?jǐn)?shù)”。例如：324/53.1與313/51.7比較大小，其中324/53.1就是“大分?jǐn)?shù)”，313 /51.7就是“小分?jǐn)?shù)”，而324-313/53.1-51.7=11/1.4就是“差分?jǐn)?shù)”。

　　“差分法”使用基本準(zhǔn)則——

　　“差分?jǐn)?shù)”代替“大分?jǐn)?shù)”與“小分?jǐn)?shù)”作比較：

　　1、若差分?jǐn)?shù)比小分?jǐn)?shù)大，則大分?jǐn)?shù)比小分?jǐn)?shù)大;

　　2、若差分?jǐn)?shù)比小分?jǐn)?shù)小，則大分?jǐn)?shù)比小分?jǐn)?shù)小;

　　3、若差分?jǐn)?shù)與小分?jǐn)?shù)相等，則大分?jǐn)?shù)與小分?jǐn)?shù)相等。

　　比如上文中就是“11/1.4代替324/53.1與313/51.7作比較”，因?yàn)?1/1.4>313/51.7(可以通過(guò)“直除法”或者“化同法”簡(jiǎn)單得到)，所以324/53.1>313/51.7。

　　特別注意：

　　一、“差分法”本身是一種“精算法”而非“估算法”，得出來(lái)的大小關(guān)系是精確的關(guān)系而非粗略的關(guān)系;

　　二、“差分法”與“化同法”經(jīng)常聯(lián)系在一起使用，“化同法緊接差分法”與“差分法緊接化同法”是資料分析速算當(dāng)中經(jīng)常遇到的兩種情形。

　　三、“差分法”得到“差分?jǐn)?shù)”與“小分?jǐn)?shù)”做比較的時(shí)候，還經(jīng)常需要用到“直除法”。

　　四、如果兩個(gè)分?jǐn)?shù)相隔非常近，我們甚至需要反復(fù)運(yùn)用兩次“差分法”，這種情況相對(duì)比較復(fù)雜，但如果運(yùn)用熟練，同樣可以大幅度簡(jiǎn)化計(jì)算。

　　【例1】比較7/4和9/5的大小

　　【解析】運(yùn)用“差分法”來(lái)比較這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小關(guān)系：

　　大分?jǐn)?shù) 小分?jǐn)?shù)

　　9/5 7/4

　　9-7/5-1=2/1(差分?jǐn)?shù))

　　根據(jù)：差分?jǐn)?shù)=2/1>7/4=小分?jǐn)?shù)

　　因此：大分?jǐn)?shù)=9/5>7/4=小分?jǐn)?shù)

　　使用“差分法”的時(shí)候，牢記將“差分?jǐn)?shù)”寫(xiě)在“大分?jǐn)?shù)”的一側(cè)，因?yàn)樗娴氖?ldquo;大分?jǐn)?shù)”，然后再跟“小分?jǐn)?shù)”做比較。

　　【例2】比較32.3/101和32.6/103的大小

　　【解析】運(yùn)用“差分法”來(lái)比較這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小關(guān)系：

　　小分?jǐn)?shù) 大分?jǐn)?shù)

　　32.3/101 32.6/103

　　32.6-32.3/103-101=0.3/2(差分?jǐn)?shù))

　　根據(jù)：差分?jǐn)?shù)=0.3/2=30/200<32.3/101=小分?jǐn)?shù)(此處運(yùn)用了“化同法”)

　　因此：大分?jǐn)?shù)=32.6/103<32.3/101=小分?jǐn)?shù)

　　[注釋] 本題比較差分?jǐn)?shù)和小分?jǐn)?shù)大小時(shí)，還可采用直除法，讀者不妨自己試試。

　　以例2為例，我們來(lái)闡述一下“差分法”到底是怎樣一種原理，先看下圖：

　　上圖顯示了一個(gè)簡(jiǎn)單的過(guò)程：將Ⅱ號(hào)溶液倒入Ⅰ號(hào)溶液當(dāng)中，變成Ⅲ號(hào)溶液。其中Ⅰ號(hào)溶液的濃度為“小分?jǐn)?shù)”，Ⅲ號(hào)溶液的濃度為“大分?jǐn)?shù)”，而Ⅱ號(hào)溶液的 濃度為“差分?jǐn)?shù)”。顯然，要比較Ⅰ號(hào)溶液與Ⅲ號(hào)溶液的濃度哪個(gè)大，只需要知道這個(gè)倒入的過(guò)程是“稀釋”還是“變濃”了，所以只需要比較Ⅱ號(hào)溶液與Ⅰ號(hào)溶液 的濃度哪個(gè)大即可。

　　【例3】比較29320.04/4126.37和29318.59/4125.16的大小

　　【解析】運(yùn)用“差分法”來(lái)比較這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小關(guān)系：

　　29320.04/4126.37 29318.59/4125.16

　　1.45/1.21

　　根據(jù)：很明顯，差分?jǐn)?shù)=1.45/1.21<2<29318.59/4125.16=小分?jǐn)?shù)

　　因此：大分?jǐn)?shù)=29320.04/4126.37<29318.59/4125.16=小分?jǐn)?shù)

　　[注釋] 本題比較差分?jǐn)?shù)和小分?jǐn)?shù)大小時(shí)，還可以采用“直除法”(本質(zhì)上與插一個(gè)“2”是等價(jià)的)。

　　【例4】下表顯示了三個(gè)省份的省會(huì)城市(分別為A、B、C城)2006年GDP及其增長(zhǎng)情況，請(qǐng)根據(jù)表中所提供的數(shù)據(jù)回答：

　　1.B、C兩城2005年GDP哪個(gè)更高?

　　2.A、C兩城所在的省份2006年GDP量哪個(gè)更高?

　　GDP(億元) GDP增長(zhǎng)率 占全省的比例

　　A城 873.2 12.50% 23.9%

　　B城 984.3 7.8% 35.9%

　　C城 1093.4 17.9% 31.2%

　　【解析】一、B、C兩城2005年的GDP分別為：984.3/1+7.8%、1093.4/1+17.9%;觀察特征(分子與分母都相差一點(diǎn)點(diǎn))我們使用“差分法”：

　　984.3/1+7.8% 1093.4/1+17.9%

　　109.1/10.1%

　　運(yùn)用直除法，很明顯：差分?jǐn)?shù)=109.1/10.1%>1000>984.3/1+7.8%=小分?jǐn)?shù)，故大分?jǐn)?shù)>小分?jǐn)?shù)

　　所以B、C兩城2005年GDP量C城更高。

　　二、A、C兩城所在的省份2006年GDP量分別為：873.2/23.9%、1093.4/31.2%;同樣我們使用“差分法”進(jìn)行比較：

　　873.2/23.9% 1093.4/31.2%

　　220.2/7.3%=660.6/21.9%

　　212.6/2%=2126/20%

　　上述過(guò)程我們運(yùn)用了兩次“差分法”，很明顯：2126/20%>660.6/21.9%，所以873.2/23.9%>1093.4/31.2%;

　　因此2006年A城所在的省份GDP量更高。

　　【例5】比較32053.3×23487.1和32048.2×23489.1的大小

　　【解析】32053.3與32048.2很相近，23487.1與23489.1也很相近，因此使用估算法或者截位法進(jìn)行比較的時(shí)候，誤差可能會(huì)比較 大，因此我們可以考慮先變形，再使用“差分法”，即要比較32053.3×23487.1和32048.2×23489.1的大小，我們首先比較 32053.3/23489.1和32048.2/23487.1的大小關(guān)系：

　　32053.3/23489.1 32048.2/23487.1

　　5.1/2

　　根據(jù)：差分?jǐn)?shù)=5.1/2>2>32048.2/23487.1=小分?jǐn)?shù)

　　因此：大分?jǐn)?shù)=32053.3/23489.1>32048.2/23487.1=小分?jǐn)?shù)

　　變型：32053.3×23487.1>32048.2×23489.1

　　要比較a×b與a′×b′的大小，如果a與a'相差很小，并且b與b'相差也很小，這時(shí)候可以將乘法a×b與a′×b′的比較轉(zhuǎn)化為除法ab′與a′ b的比較，這時(shí)候便可以運(yùn)用“差分法”來(lái)解決我們類(lèi)似的乘法型問(wèn)題。我們?cè)?ldquo;化除為乘”的時(shí)候，遵循以下原則可以保證不等號(hào)方向的不變：

　　“化除為乘”原則：相乘即交叉。

　　★【速算技巧六：插值法】

　　"插值法"是指在計(jì)算數(shù)值或者比較數(shù)大小的時(shí)候，運(yùn)用一個(gè)中間值進(jìn)行"參照比較"　的速算方式，一般情況下包括兩種基本形式：

　　一、在比較兩個(gè)數(shù)大小時(shí)，直接比較相對(duì)困難，但這兩個(gè)數(shù)中間明顯插了一個(gè)可以進(jìn)行參照比較并且易于計(jì)算的數(shù)，由此中間數(shù)可以迅速得出這兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系。比如說(shuō)A與B的比較，如果可以找到一個(gè)數(shù)C，并且容易得到A>C，而B(niǎo)A>B。

　　二、在計(jì)算一個(gè)數(shù)值f的時(shí)候，選項(xiàng)給出兩個(gè)較近的數(shù)A與B難以判斷，但我們可以容易的找到A與B之間的一個(gè)數(shù)C，比如說(shuō)AC，則我們知道f=B(另外一種情況類(lèi)比可得)。

　　★【速算技巧七：湊整法】

　　"湊整法"是指在計(jì)算過(guò)程當(dāng)中，將中間結(jié)果湊成一個(gè)"整數(shù)"(整百、整千等其它方便計(jì)算形式的數(shù))，從而簡(jiǎn)化計(jì)算的速算方式。"湊整法"包括加/減法 的湊整，也包括乘/除法的湊整。在資料分析的計(jì)算當(dāng)中，真正意義上的完全湊成"整數(shù)"基本上是不可能的，但由于資料分析不要求絕對(duì)的精度，所以湊成與"整 數(shù)"相近的數(shù)是資料分析"湊整法"所真正包括的主要內(nèi)容。