1、條件：余數相同

　　思路：除數的最小公倍數+余數

　　【例1】

　　三位數的自然數P滿足：除以4余2，除以5余2，除以6余2，則以下符合條件的自然數P是( )。

　　A.120 B.122 C.121 D.123

　　【解析】

　　根據題目條件余數相同，均為余2，而4,5,6的最小公倍數為60，因此數P滿足：P=60n+2 ，(n=0,1,2,3……)，而當n=2時，P=122，故答案為B。

　　2、條件：除數和余數的和相同

　　思路：除數的最小公倍數+和(除數加余數的和)

　　【例2】

　　三位數的自然數P滿足：除以5余3，除以6余2，除以7余1，則符合條件的自然數P有多少個?( )

　　A.3 B.2 C.4 D.5

　　【解析】

　　根據題設，發現除數與余數的和相加均為8，而5,6,7的最小公倍數為210，所以數P滿足P=210n+8(n=0,1,2……)，而在100至999以內滿足條件的自然數有218，428，638，848四個數，故答案為C。

　　3、條件：除數和余數之差相同

　　思路：除數的最小公倍數-差(除數減余數的差)

　　【例3】

　　某校三年級學生進行排隊，發現每5人一排多1人，每6人一排多2人，每7人一排3多人，問這個年級至少有多少人?( )

　　A.206 B.202 C.237 D.302

　　【解析】

　　觀察題干可發現，除數與余數的差均為4，又5,6,7的最小公倍數為210，所以數P滿足P=210n-4(n=1,2,3……)，當n=1時，P為206，故答案為A。另外，本題可采取代入排除法直接驗算，也能快速得到答案。

　　類別二：一般余數問題

　　有時候遇到的余數并不滿足以上所有條件，這類問題比以上問題更為麻煩一些，解決它們的一般思路是求出滿足題干中兩個條件的通項公式，再利用同余特性加以解決。舉例如下：

　　【例4】

　　自然數P同時滿足除以3余1，除以4余3，除以7余4，求滿足這樣條件的三位數共有多少個?( )

　　A.10 B.11 C.12 D.13

　　【解析】

　　此題為一般余數問題，考慮先取其中兩個條件，“除以3余1，除以4余3”，則P=4n+3=3a+1，如果等式兩邊同時除以3，則左邊的余數為n，右邊的余數為1，即n=1;故同時滿足上述兩個條件的最小數為7，則通項為P=12n+7……①;再將①式所得的條件與“除以7余4”的條件結合，即滿足題干三個條件的數P=12n+7=7b+4，如果等式兩邊同時除以7，則左邊余5n，右邊余4，右邊也可認為余25，得到5n=25，n=5，代入①式，得P=67。則滿足題干三個條件的數的通項為P=84n+67(n=0,1,2,3……)，根據100≦84n+67≦999可求得1≦n≦11，則符合條件的數共有11個，故答案為B。